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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Do 24.11.2011 | | Autor: | fenolle |
| Aufgabe | Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von r, die kein Maximum besitzt. Zeigen Sie: Zu jedem e>0 existiert ein x aus A mit
supA-e<x<supA |
Bei dieser Aufgabe komme ich nciht weiter. Folgendes leitet sich recht schnell ab: x<supA gilt, da A nicht nach oben beschränkt ist. Somit ist jedes Suprenum größer als x.
Also gilt: x<supA => x-supA<0 = -x+supA>0
Da e>0 ist, gilt mit Axiom: -x+supA+e>0. Somit ist supA+e>x
Oder -supA-e<-x. Kann ich mit einem Axiom folgern, dass dann
-supA-e<x gilt.
Das bringt mich aber eigenltich auch nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 24.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Guten Abend,
Die Aufgabe verlangt, eine falsche Behauptung zu zeigen, und Du zeigst sie auch noch!
Mach Dir nochmal die Begriffe Supremum und obere Schranke der Beispielmenge [mm] $A=\{0\}$ [/mm] klar.
Was ist das Supremum von $A$? Was sind obere Schranken von $A$? Gibt es ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit [mm] $x<\sup [/mm] A$?
Was man allerdings zeigen kann, ist:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit [mm] $\sup A-\epsilon [/mm] < x [mm] \le\sup [/mm] A$.
Hilft das schon mal?
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 24.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo helbig,
> Guten Abend,
>
> Die Aufgabe verlangt, eine falsche Behauptung zu zeigen,
> und Du zeigst sie auch noch!
Nein.
> Mach Dir nochmal die Begriffe Supremum und obere Schranke
> der Beispielmenge [mm]A=\{0\}[/mm] klar.
Diese hat ein Maximum, A hat nach Voraussetzung kein Maximum.
> Was ist das Supremum von [mm]A[/mm]? Was sind obere Schranken von
> [mm]A[/mm]? Gibt es ein [mm]x\in A[/mm] mit [mm]x<\sup A[/mm]?
>
> Was man allerdings zeigen kann, ist:
> Zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]x\in A[/mm] mit [mm]\sup A-\epsilon < x \le\sup A[/mm].
>
> Hilft das schon mal?
>
> Grüße,
> Wolfgang
LG
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> Guten Abend,
>
> Die Aufgabe verlangt, eine falsche Behauptung zu zeigen,
> und Du zeigst sie auch noch!
> Mach Dir nochmal die Begriffe Supremum und obere Schranke
> der Beispielmenge [mm]A=\{0\}[/mm] klar.
> Was ist das Supremum von [mm]A[/mm]? Was sind obere Schranken von
> [mm]A[/mm]? Gibt es ein [mm]x\in A[/mm] mit [mm]x<\sup A[/mm]?
>
> Was man allerdings zeigen kann, ist:
> Zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]x\in A[/mm] mit [mm]\sup A-\epsilon < x \le\sup A[/mm].
>
> Hilft das schon mal?
>
> Grüße,
> Wolfgang
Hallo Wolfgang,
kamaleonti hat gerade schon mitgeteilt, was ich auch sagen will:
Die Menge [mm]A=\{0\}[/mm] , welche du als Gegenbeispiel vorschlägst, hat ein Maximum, nämlich 0 , im Gegensatz zur Voraussetzung in der Aufgabe.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 24.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Oh! Ich hatte die Aufgabe nicht weit genug gelesen. Mein Fehler! Tut mir leid!
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Hallo fenolle,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Sei A eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von
> r, die kein Maximum besitzt. Zeigen Sie: Zu jedem e>0
> existiert ein x aus A mit supA-e<x<supA
> Bei dieser Aufgabe komme ich nciht weiter. Folgendes
> leitet sich recht schnell ab: x<supA gilt, da A nicht nach
> oben beschränkt ist. Somit ist jedes Suprenum größer als
> x.
> Also gilt: x<supA => x-supA<0 = -x+supA>0
> Da e>0 ist, gilt mit Axiom: -x+supA+e>0. Somit ist supA+e>x
> Oder -supA-e<-x. Kann ich mit einem Axiom folgern, dass
> dann -supA-e<x gilt.
Nein.
> Das bringt mich aber eigenltich auch nicht weiter.
Dann mach es so:
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Zu zeigen: Es gibt ein [mm] x\in [/mm] A mit [mm] \sup A-\varepsilon
Es ist [mm] \sup [/mm] A die kleinste obere Schranke von A und daher [mm] \sup A-\varepsilon<\sup [/mm] A keine obere Schranke von A. Daraus folgt sofort: Es gibt ein [mm] x\in [/mm] A mit [mm] x>\sup A-\varepsilon. [/mm] Weiterhin ist [mm] x<\sup [/mm] A, da A kein Maximum besitzt.
LG
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