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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Supremumsbeweis
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Supremumsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Do 05.11.2009
Autor: Stefan-auchLotti

Aufgabe
Seien $A, B$ nach oben beschränkte, nicht leere Teilmengen von [mm] $\IR$. [/mm] Falls [mm] $A\subseteq [/mm] B$, so gilt [mm] $\sup A\le\sup [/mm] B$.

Hallo, zusammen,

wollte mal nachfragen, ob meine Begründung so korrekt ist.

Falls $A=B$, so gilt natürlich [mm] $\sup A=\sup [/mm] B$, im Falle [mm] $A\subset [/mm] B$ ist entweder das größte Element von $B$ in $A$ enthalten (dann folgt [mm] $\sup A=\sup [/mm] B$), oder nicht (dann muss [mm] $\sup A<\sup [/mm] B$ folgen). Daraus folgt die Behauptung.

Vielen Dank,

Stefan.

        
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Supremumsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Do 05.11.2009
Autor: pelzig

Naja also für A=B ist die Behauptung ja tatsächlich trivial. Aber im anderen Fall kannst du nicht mit "dem maximalen Element" argumentieren, denn das muss ja nicht existieren (z.B. bei offenen beschränkten intervallen). Das Supremum ist definiert als die kleinste obere Schranke, falls so eine überhaupt existiert. Du musst also zeigen, dass [mm] $\sup [/mm] B$ eine obere Schranke von $A$ ist.

Gruß, Robert

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Supremumsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Do 05.11.2009
Autor: Stefan-auchLotti

OK, [mm] $A\subseteq [/mm] B [mm] \gdw x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$. Das bedeutet, dass jede obere Schranke von $B$ auch obere Schranke von $A$ ist, insbesondere auch das [mm] $\sup [/mm] B$ ist obere Schranke von $A$.

Aber das reicht ja noch nicht, oder? Was kommt denn nun. Irgendwie fehlt mir grad die zündende Idee.


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Supremumsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Do 05.11.2009
Autor: pelzig


> OK, [mm]A\subseteq B \gdw x\in A\Rightarrow x\in B[/mm]. Das

Vorsicht, es muss heißen [mm] $A\subset B\gdw \red{\left(}x\in A\Rightarrow x\in B\red{\right)}$... [/mm]

> bedeutet, dass jede obere Schranke von [mm]B[/mm] auch obere
> Schranke von [mm]A[/mm] ist, insbesondere auch das [mm]\sup B[/mm] ist obere
> Schranke von [mm]A[/mm].
>  
> Aber das reicht ja noch nicht, oder? Was kommt denn nun.

Doch. Du hast gezeigt [mm] $\sup [/mm] B$ ist eine obere schranke von $A$, also muss doch [mm] $\sup [/mm] A$, die kleinste untere Schranke von A, kleinergleich [mm] $\sup [/mm] B$ sein.

Gruß, Robert

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Supremumsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 05.11.2009
Autor: leduart

Hallo
1. das sup einer Menge ist nicht unbedingt in der Menge enthalten. also es gilt nich [mm] supA\in [/mm] A
deshalb ist dein Argument noch falsch.
Am einfachsten ist du zeigst dass supA>sup B zu nem Widerspruch führt mit der Definition von supB und [mm] A\subset [/mm] B.
Gruss leduart

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Supremumsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Do 05.11.2009
Autor: Stefan-auchLotti

Also dann:

Sei [mm] $\sup A>\sup [/mm] B,$ also ist [mm] $\sup [/mm] B:=C$ kleinste obere Schranke von B, also [mm] $\forall x\in B:x\le [/mm] C$.

Außerdem gilt [mm] $A\subseteq B\gdw x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$, demnach gilt auch [mm] $\forall x\in A:x\le [/mm] C$. Also ist [mm] $\sup [/mm] B$ auch obere Schranke von $A$. Daraus kann nicht folgen, dass [mm] $\sup [/mm] A$ größer als [mm] $\sup [/mm] B$ ist.

Ich hoffe, das ist so richtig?

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Supremumsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Do 05.11.2009
Autor: Gonozal_IX

Warum indirekt, wenns auch direkt geht ;-)
Dein anderer Ansatz ist schöner und günstiger... siehe pelzigs Antwort, da bist du auf dem richtigen Weg.

mFG,
Gono.

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