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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Abend,
habe mir zu folgenden Aufgaben bereits einige Gedanken gemacht, komme jedoch nicht ganz zur Lösung:
1.) Es sei S eine Teilmenge eines vollständig geordneten Körpers K und c eine (die) kleinste obere Schranke von S. Definiere -S = [mm] \{x \in K | es gibt y \in S mit x=-y \} [/mm] - Die eine "Hälfte" des Vollständigkeitsaxioms impliziert die jeweils andere "Hälfte".
Hierzu hatten wir notiert: "Ein geordneter Körper heißt vollständig, wenn jede nach oben beschränkte Menge S eine Supremum besitzt und jeder nach unten beschränkte Menge S ein Infimum besitzt."
Was aber gilt es nun genau zu beweisen?
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2.) Bestimme das Supremum und das Infimum der folgenden Teilmenge von [mm] \IR:
[/mm]
s= [mm] \{x \in \IR | (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) < 0 \} [/mm] für gegebene a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] mit a < b < c < d.
Das Supremum dürfte bei x=d liegen, doch wo liegt das Infimum? Man könnte vermuten, dass es x=a wäre, doch genau genommen wird das Produkt für x=c schon 0. Ist somit das Infimum c? Allerdings ist die Ungleichung für x= [mm] \bruch{b-a}{2} [/mm] beispielsweise wieder erfüllt...
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Es seien [mm] S_1, S_2 [/mm] nicht leere, nach oben beschränkte Teilmengen von IR, [mm] S_1 [/mm] + [mm] S_2 [/mm] := {x [mm] \in \IR [/mm] |es gibt [mm] s_1 \in S_1, s_2 \in S_2 [/mm] mit [mm] x=s_1 [/mm] + [mm] s_2 \}.
[/mm]
[mm] sup(S_1 [/mm] + [mm] S_2) [/mm] = sup [mm] S_1 [/mm] + sup [mm] S_2
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] sup(S_1) [/mm] ist eine obere Schranke von [mm] S_1 [/mm] und [mm] sup(S_2) [/mm] ist eine obere Schranke von [mm] S_2. [/mm] Damit ist offenbar [mm] sup(S_1) [/mm] + [mm] sup(S_2) [/mm] eine obere Schranke von [mm] S_1 [/mm] + [mm] S_2. [/mm] Es sei s eine beliebige obere Schranke von [mm] S_1 [/mm] + [mm] S_2. [/mm] Es sei [mm] s_2 \in S_2 [/mm] beliebig, damit gilt
[mm] s_1 [/mm] + [mm] s_2 \le [/mm] s für alle [mm] s_1 \in S_1
[/mm]
[mm] \gdw s_1 \le s-s_2
[/mm]
Somit ist [mm] s-s_2 [/mm] eine obere Schranke von [mm] S_1. [/mm] Hieraus folgt:
[mm] sup(S_1) \le s-s_2
[/mm]
[mm] \gdw s_2 \le s-sup(S_1)
[/mm]
Damit ist [mm] s-sup(S_1) [/mm] eine obere Schranke von [mm] s_2. [/mm] Es gilt somit:
[mm] sup(S_2) \le [/mm] s - [mm] sup(S_1)
[/mm]
[mm] \gdw sup(S_1) [/mm] + [mm] sup(S_2) \le [/mm] s
Ist hiermit die Aufgabe vollständig gelöst?
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Hallo,
bitte keine Doppelpostings. Ich habe den Link unten verändert. Da findest du, zumindest Teilweise, Antwort auf deine Fragen. Das ist ein sehr ausführliches Analysisskript.
VG mathmetzsch
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Hallo Commotus,
zu 1:
Jede nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum [mm] \gdw [/mm]
Jede nach unten beschränkte Menge besitzt ein Infimum.
Das ist zu zeigen mit Hilfe von -S zu S.
2) Deine Idee mit sup = d und inf = a war schon richtig. Das heißt ja nicht notwendig, dass das ganze Intervall (a;d) zu S gehören muss.
Schau Dir f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) auf dem TR oder PC an, dann siehst Du:
Aus demselben Grund, warum alle Linearfaktren > 0 sind für x>d, sind alle Linearfaktoren negativ für x<a, also das Produkt positiv. Dann muss a infimum sein.
3) Dein Beweis ist super! Chapeau! Deshalb verstehe ich die Kritik wegen des Doppelpostings in Deinem Fall nicht ganz: Ich finde es wichtig zu einer Aufgabe möglichst viele Lösungen zu kennen, nicht nur den Standard.
Gruß, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 15.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
vielen Dank für die nützliche Hinweise! Könntest du mir bitte noch kurz erläutern, wie ich den Beweis von Aufgabe 1 genau formuliere? Ich weiß leider nicht genau, was es zu beweisen gilt bzw. wie ich dies explizit in mathematischen Ausdrücken aufschreiben soll. Wäre nett, wenn du mir noch kurz helfen könntest.
Viele Grüße
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diesmal doch:
Das ist schon in Deinem andern Posting geklärt: Du kennst die Antwort, hast aber scheinbar das Gefühl, so einfach könne die Sache doch nicht sein! Ist sie aber...
Gruß, R.
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