Supremum Maximum Gleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 28.10.2004 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich muss folgende Gleichung beweisen, und habe keine Ahnung, wie ich Sie lösen soll.
Kann mir jemand eine Lösung sagen:
Sind A,B nicht leere Mengen negativer Zahlen aus R.
sup( A vereinigt B ) = max{ sup ( A ) , sup ( B ) }
Und dann noch:
Gilt diese aussage auch für nach oben Beschränkte Mengen reller positiver zahlen ???
Falls ja einen Beweis machen. Falls nein widerlegen.
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.emath.de
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:31 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, zu so später Stunde kann ich glaube ich nicht mehr so viel denken, aber ich erinnere mich an so eine Aufgabenart auf meinen Ü-Zetteln.
> sup( A vereinigt B ) = max{ sup ( A ) , sup ( B ) }
Versuch's vielleicht mal mit x = sup { A [mm] \cup [/mm] B} und mache dann eine Fallunterscheidung:
1. Fall: x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] x=sup{A}
[mm] \Rightarrow [/mm] sup{A}>sup{B}
[mm] \Rightarrow [/mm] sup {A [mm] \cup [/mm] B}=max{sup{a}, sup{B}}
2. Fall: [mm] x\in [/mm] B
analog
Ich hoffe, du weißt, was ich meine, man müsste es vielleicht noch etwas mit Worten erklären.
Hoffentlich stimmt das jetzt auch...
Hilft es dir erstmal weiter?
MfG
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:39 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane,
> Also, zu so später Stunde kann ich glaube ich nicht mehr
> so viel denken, aber ich erinnere mich an so eine
> Aufgabenart auf meinen Ü-Zetteln.
>
> > sup( A vereinigt B ) = max{ sup ( A ) , sup ( B ) }
>
> Versuch's vielleicht mal mit $x = [mm] \sup \{ A \cup B\}$ [/mm] und mache
> dann eine Fallunterscheidung:
> 1. Fall: x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=sup{A}
> [mm]\Rightarrow[/mm] sup{A}>sup{B}
Hier müßte [mm] $\ge$ [/mm] stehen, oder? Unter Umständen könnten die Suprema ja in beiden Mengen enthalten sein.
> [mm]\Rightarrow[/mm] $sup [mm] \{A \cup B\}=max{sup{a}, sup{B}}$
[/mm]
>
> 2. Fall: [mm]x\in[/mm] B
> analog
Es fehlt aber der dritte Fall:
3. Fall: [mm] $x\not\in [/mm] A$ und [mm] $x\not\in [/mm] B$
Das Supremum einer Menge muß ja selbst nicht in der Menge enthalten sein (falls das Supremum einer Menge auch Element der Menge ist, dann nennt man es übrigens Maximum).
Das ist --denke ich-- auch der viel interessantere Fall.
Ich würde vielleicht diese beiden Ungleichungen zeigen:
i) [mm] $\sup( [/mm] A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \le \max\{ \sup ( A ) , \sup ( B ) \}$
[/mm]
ii) [mm] $\sup( [/mm] A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \ge \max\{ \sup ( A ) , \sup ( B ) \}$
[/mm]
und jetzt mit der Defintion des Supremums als kleinste obere Schranke argumentieren.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mr Pink!
Alle betrachteten Suprema existieren, da die Menge der negativen Zahlen nach oben durch $0$ beschränkt ist.
Aus $A [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ und $B [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ folgt sofort
[mm] $\sup(A) \le \sup(A \cup [/mm] B)$
und
[mm] $\sup(B) \le \sup(A \cup [/mm] B)$,
und daher auch
[mm] $\max(\sup(A),\sup(B)) \le \sup(A \cup [/mm] B)$.
Ist umgekehrt $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ beliebig gewählt, dann gilt: $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$, d.h. es gilt:
$x [mm] \le \sup(A)$ [/mm] oder $x [mm] \le \sup(B)$,
[/mm]
und daher
$x [mm] \le \max(\sup(A),\sup(B))$.
[/mm]
Somit ist [mm] $\max(\sup(A),\sup(B))$ [/mm] eine obere Schranke von $A [mm] \cup [/mm] B$. Da aber nach Definition des Supremums [mm] $\sup(A \cup [/mm] B)$ die kleinste obere Schranke von $A [mm] \cup [/mm] B$ ist, folgt:
[mm] $\sup(A \cup [/mm] B) [mm] \le \max(\sup(A),\sup(B))$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
