Supremum/Infimum/Komplement < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mo 27.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich habe zwei Fragen, die beim studieren aufgetaucht sind:
1) Wenn k das Supremum der Menge M ist, ist dann -k das Infimum vom Komplement von M?
2) Wenn ich eine untere Schranke q einer Menge M habe, also [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M: q <M und q [mm] \in [/mm] M folgt dann automatisch dass q das Infimum von M ist? |
Hallo zusammen,
1)
Also k= sup M, gilt dann -k=inf(C(M)) wobei [mm] C(M)=\{x\in U|x \not\in M\} [/mm] wobei U die Universalmenge ist.
-) -k untere Schranke von C(M), d.h. [mm] \forall x\in [/mm] C(M) gilt -k < x
-) [mm] \forall [/mm] l > -k: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] C(M) sodass x < l
2)
Da bin ich mir relativ sicher, dass die Annahme richtig ist.
q ist eine untere Schranke und für alle s>q gibt es ja das q [mm] \in [/mm] M, was kleiner ist, also kann s keine untere Schranke sein.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mo 27.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe zwei Fragen, die beim studieren aufgetaucht sind:
> 1) Wenn k das Supremum der Menge M ist, ist dann -k das
> Infimum vom Komplement von M?
Nein. Nimm M=[0,1]. Dann ist 1=supM, aber -1 ist nicht dass Infimum von [mm] \IR \setminus [/mm] M, denn [mm] \IR \setminus [/mm] M hat kein Infimum !!!!!
> 2) Wenn ich eine untere Schranke q einer Menge M habe,
> also [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M: q <M und q [mm]\in[/mm] M folgt dann
> automatisch dass q das Infimum von M ist?
Unsinn ! Wenn $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \in [/mm] $ M: q <m, so kann doch q nicht in M liegen , denn anderenfalls hättes Du q<q.
FRED
> Hallo zusammen,
> 1)
> Also k= sup M, gilt dann -k=inf(C(M)) wobei [mm]C(M)=\{x\in U|x \not\in M\}[/mm]
> wobei U die Universalmenge ist.
> -) -k untere Schranke von C(M), d.h. [mm]\forall x\in[/mm] C(M) gilt
> -k < x
>  [mm]\forall[/mm] l > -k: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] C(M) sodass x < l
>
> 2)
> Da bin ich mir relativ sicher, dass die Annahme richtig
> ist.
> q ist eine untere Schranke und für alle s>q gibt es ja
> das q [mm]\in[/mm] M, was kleiner ist, also kann s keine untere
> Schranke sein.
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 27.10.2014 | | Autor: | sissile |
> > Ich habe zwei Fragen, die beim studieren aufgetaucht sind:
> > 1) Wenn k das Supremum der Menge M ist, ist dann -k das
> > Infimum vom Komplement von M?
>
> Nein. Nimm M=[0,1]. Dann ist 1=supM, aber -1 ist nicht dass
> Infimum von [mm]\IR \setminus[/mm] M, denn [mm]\IR \setminus[/mm] M hat kein
> Infimum !!!!!
>
>
> > 2) Wenn ich eine untere Schranke q einer Menge M habe,
> > also [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M: q <m und q [mm]\in[/mm] M folgt dann
> > automatisch dass q das Infimum von M ist?
>
> Unsinn ! Wenn [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M: q <m, so kann doch q nicht
> in M liegen , denn anderenfalls hättes Du q<q.
>
> FRED
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort.
Sry ich meinte bei 2) [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M: [mm] q\le [/mm] m
Weil in dem Fall ist q [mm] \in [/mm] M ja möglich. Und dann folgt das q insbesondere ein Infimum ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 27.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sissile,
> Sry ich meinte bei 2)
Sei [mm] $U\not=\emptyset$ [/mm] eine geordnete Menge und [mm] $M\$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $U\$, [/mm] so dass
> [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M: [mm]q\le[/mm] m
mit [mm] $q\in U\$.
[/mm]
Demnach existiert mit [mm] $q\in U\$ [/mm] eine untere Schranke von [mm] $M\$. [/mm]
> Weil in dem Fall ist q [mm]\in[/mm] M ja möglich.
Ja, aber allgemein ist [mm] $q\in U\$ [/mm] und es könnte damit auch aus [mm] $q\in U\setminus [/mm] M$ sein.
(Was würde denn hier insbesondere aus [mm] $q\in M\$ [/mm] folgen?)
> Und dann folgt das q insbesondere ein Infimum ist?
[mm] $q\in U\$ [/mm] ist Infimum von [mm] $M\$, [/mm] wenn es eine größte untere Schranke von [mm] $M\$ [/mm] ist.
Das Voraussetzung "geordnete Menge" kann man übrigens "verschärfen".
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 27.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich hab keine Ahnung, was die Acht mit U etc... beachtsichtigt...
Gilt $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \in [/mm] $ M: $ [mm] q\le [/mm] $ m und ist q [mm] \in [/mm] M, so ist
q=infM=minM.
Ich habe fertig
FRED
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