Supremum/Infimum < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Infimum und das Supremum der Menge und geben sie, falls vorhanden, Minimum oder Maximum an.
A := { [mm] \bruch{x}{1+3x} [/mm] : x > - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] } |
Ich hab nun das Supremum sup(A) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] bestimmt. Wir sollen nun noch beweisen, dass es wirklich das Supremum ist und hier dachte ich mir, dass es ja keine kleinere obere Schranke als [mm] \bruch{1}{3} [/mm] geben darf. Man könnte nun einen Widerspruchsbeweis durchführen, indem ich annehme, es gäbe doch eine kleinere obere Schranke:
[mm] \exists [/mm] d [mm] \in \IR [/mm] mit d > 0
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] - d [mm] \ge \bruch{x}{1+3x}, [/mm] wobei [mm] \bruch{x}{1+3x} [/mm] < [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
<=> -d [mm] \ge \bruch{x}{1+3x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
<=> d [mm] \le [/mm] - [mm] \bruch{x}{1+3x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Ich wollte nun irgendwie versuchen, dass das ganze zu d > 0 im Widerspruch steht, da dies die einzige Beweismöglichkeit ist, die ich diesbezüglich kennengelernt habe. Nur irgendwie komme hier damit nicht weiter.
Für [mm] \bruch{x}{1+3x} [/mm] kommt etwas kleiner 1/3 heraus, demnach kommt für - [mm] \bruch{x}{1+3x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] irgendetwas zwischen 0 und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] heraus und das macht die Aussage, dass d kleinergleich den Wert ist ja nicht unwahr, da d > 0....Ich komme hier einfach nicht weiter :/
und wenn allgemein ein Infimum/Supremum ins Unendliche läuft, wie beweist man dann so etwas? (Grenzwertbetrachtung hatten wir noch nicht, deshalb darf ich das nicht anwenden)
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Hallo Zero_112Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Bestimmen Sie das Infimum und das Supremum der Menge und
> geben sie, falls vorhanden, Minimum oder Maximum an.
>
> A := { [mm]\bruch{x}{1+3x}[/mm] : x > - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Ich hab nun das Supremum sup(A) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] bestimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wir sollen nun noch beweisen, dass es wirklich das Supremum
> ist und hier dachte ich mir, dass es ja keine kleinere
> obere Schranke als [mm]\bruch{1}{3}[/mm] geben darf. Man könnte nun
> einen Widerspruchsbeweis durchführen, indem ich annehme,
> es gäbe doch eine kleinere obere Schranke:
>
> [mm]\exists[/mm] d [mm]\in \IR[/mm] mit d > 0
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - d [mm]\ge \bruch{x}{1+3x},[/mm] wobei [mm]\bruch{x}{1+3x}[/mm] < [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
?? wobei [mm]x>-1/3[/mm]
>
> <=> -d [mm]\ge \bruch{x}{1+3x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> <=> d [mm]\le[/mm] - [mm]\bruch{x}{1+3x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ich wollte nun irgendwie versuchen, dass das ganze zu d > 0
> im Widerspruch steht, da dies die einzige
> Beweismöglichkeit ist, die ich diesbezüglich
> kennengelernt habe. Nur irgendwie komme hier damit nicht
> weiter.
> Für [mm]\bruch{x}{1+3x}[/mm] kommt etwas kleiner 1/3 heraus,
> demnach kommt für - [mm]\bruch{x}{1+3x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> irgendetwas zwischen 0 und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] heraus und das
> macht die Aussage, dass d kleinergleich den Wert ist ja
> nicht unwahr, da d > 0....Ich komme hier einfach nicht
> weiter :/
Deine Überlegung ist gut!
Wenn es eine kleinere obere Schranke (als 1/3) - etwa [mm]\frac{1}{3}-d[/mm] mit [mm]d>0[/mm] - gäbe, müsste ja für alle [mm]x>-\frac{1}{3}[/mm] gelten, dass [mm]\frac{x}{1+3x}\le\frac{1}{3}-d[/mm]
Das kann man zum Widerspruch führen.
Finde ein [mm]x>-\frac{1}{3}[/mm], so dass [mm]\frac{x}{1+3x} \ \red{>} \ \frac{1}{3}-d[/mm] (*) gilt
[mm]x>\frac{1}{9d}-\frac{1}{3}[/mm] sollte es tun ...
Das habe ich gefunden, indem ich (*) nach x aufgelöst habe ...
>
> und wenn allgemein ein Infimum/Supremum ins Unendliche
> läuft, wie beweist man dann so etwas?
Zb. für Sup: Nimm an, es gäbe ein (beliebiges endliches) Supremum [mm]M[/mm] und zeige, dass es dann ein x gibt, so dass M überschritten wird.
Analog für Inf
> (Grenzwertbetrachtung hatten wir noch nicht, deshalb darf
> ich das nicht anwenden)
Gruß
schachuzipus
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