Supremum, Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Fr 11.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Entscheide für folgende Mengen M [mm] \subseteq [/mm] IR, ob sie Supremum, Infimum, Maximum, Minimum besitzen und bestimme diese ggf.
a) M=[4,5]
b)M=[4,5)
c) M={4,5}
d)M = [mm] \IQ \cap [/mm] [ [mm] \wurzel{5}, \wurzel{16} [/mm] ]
e) M= [mm] \bigcup_{n \in IN} [/mm] [(n, [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) \cap [/mm] [n+ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] n+1) ] |
Also meine Vorschläge:
a) sup(M)=5 --> Maximum, Inf(M)=4 --> Minimum
b) sup(M)=5 --> kein Maximum, Inf(M)=4 --> Minimum
c) sup(M)=5 --> max, inf(M)=4 --> Min
d) Hier stelle ich mir die Frage, was das Infimum/Supremum von [mm] \IQ [/mm] ist... Wobei, in dem Schnitt der Mengen liegt doch nur Wurzel 16, also 4, oder?
e) Also zuerst betrachte ich mal (n, [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) [/mm] , da n ja [mm] \in [/mm] IN ist, würde ich sagen: Inf=1, kein Minimum und sup=3/2, kein Maximum, dann von (n+ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] n+1): inf=4/3, Minimum, kein Supremum. Aber wie geht's jetzt weiter bzw. stimmt das überhaupt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Entscheide für folgende Mengen M [mm]\subseteq[/mm] IR, ob sie
> Supremum, Infimum, Maximum, Minimum besitzen und bestimme
> diese ggf.
> a) M=[4,5]
> b)M=[4,5)
> c) M={4,5}
> d)M = [mm]\IQ \cap[/mm] [ [mm]\wurzel{5}, \wurzel{16}[/mm] ]
> e) M= [mm]\bigcup_{n \in IN}[/mm] [(n, [mm]n+\bruch{n+1}{2n}) \cap[/mm] (n+
> [mm]\bruch{2n-1}{3n},[/mm] n+1) ]
> Also meine Vorschläge:
> a) sup(M)=5 --> Maximum, Inf(M)=4 --> Minimum
Das ist richtig. Das Supremum der Menge ist $5$. Es ist sogar ein
Maximum, da sie in der Menge enthalten ist. Das Infimum ist $4$.
Da dies ebenfalls in der Menge enthalten ist, ist es sogar ein Minimum.
> b) sup(M)=5 --> kein Maximum, Inf(M)=4 --> Minimum
Richtig.
> c) sup(M)=5 --> max, inf(M)=4 --> Min
Richtig.
> d) Hier stelle ich mir die Frage, was das Infimum/Supremum
> von [mm]\IQ[/mm] ist... Wobei, in dem Schnitt der Mengen liegt doch
> nur Wurzel 16, also 4, oder?
Supremum ist [mm] $\sqrt{16}=4$ [/mm] und $4$ im intervall und in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt, liegt $4$ auch im Schnitt, also in $M$. Daher ist $4$ sogar das Maximum. Das Infimum ist [mm] $\sqrt{5}$. [/mm] Da [mm] $\sqrt{5}\notin\IQ$, [/mm] folgt, dass [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] kein Minimum von $M$ ist, sondern lediglich das Infimum.
Ach ueberings: Das Infimum und Supremum von [mm] $\IQ$ [/mm] gibt es nicht! Das
brauchst Du aber auch gar nicht, da Du [mm] $\IQ$ [/mm] mit einem endlichen Intervall
schneidest. In dem Schnitt liegen ueberings unendlich viele Elemente. Naemlich alle reellen Zahlen aus [mm] $[\sqrt{5},4]$, [/mm] die sich als Bruch darstellen
lassen, wie z.B.: [mm] $\frac{3}{1}=3$, $\frac{7}{2}$, [/mm] u.s.w.
> e) Also zuerst betrachte ich mal (n, [mm]n+\bruch{n+1}{2n})[/mm] ,
> da n ja [mm]\in[/mm] IN ist, würde ich sagen: Inf=1, kein Minimum
> und sup=3/2, kein Maximum, dann von (n+ [mm]\bruch{2n-1}{3n},[/mm]
> n+1): inf=4/3, Minimum, kein Supremum. Aber wie geht's
> jetzt weiter bzw. stimmt das überhaupt?
Diese Antwort ueberlasse ich aus zeitgruenden jemanden anders.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 11.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke schonmal. Könnte mir dann noch bitte jemand bei der e) helfen?
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Hallo,
achte bitte darauf, Hochschulfragen im Hochschulforum zu stellen.
1. muß sie dann keiner verschieben, und 2. ist die Wahrscheinlichkeit auf eine Antwort auch größer, wenn Du im richtigen Forum postest.
> Entscheide für folgende Mengen M [mm]\subseteq[/mm] IR, ob sie
> Supremum, Infimum, Maximum, Minimum besitzen und bestimme diese.
> e) M= $ [mm] \bigcup_{n \in IN} [/mm] $ [(n, $ [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) \cap [/mm] $ (n+ $ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] $ n+1) ]
> e) Also zuerst betrachte ich mal (n, [mm]n+\bruch{n+1}{2n})[/mm] ,
An dieser Stelle bereits gerade ich ins Grübeln: was gibt's da groß zu betrachten? Wir haben hier die [mm] x\in \IR [/mm] vor uns mit [mm] n
Wahrscheinlich meintest Du eine andere Menge - die mußt Du dann aber auch hinschreiben.
Ich kann sie auf die Schnell nicht erraten.
> da n ja [mm]\in[/mm] IN ist, würde ich sagen: Inf=1, kein Minimum
> und sup=3/2, kein Maximum,
> dann von (n+ [mm]\bruch{2n-1}{3n},[/mm] n+1): inf=4/3, Minimum, kein Supremum.
S.o.
Ich würde mich erstmal für jedes n mit den Mengen (n, $ [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) \cap [/mm] $ (n+ $ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] $ n+1) beschäftigen.
Welche Intervalle sind das?
Danach dann die Vereinigung betrachten.
LG Angela
> Aber wie geht's
> jetzt weiter bzw. stimmt das überhaupt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Sorry, werds ab jetzt stets ins richtige Forum schreiben!
Zur Aufgabe: Was ich gemacht habe, ist zu gucken, welche maximale/minimale ,,Zahl'' die beiden offenen bzw. halboffenen Intervalle, also $ (n, [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) [/mm] $ und [mm] [n+\bruch{2n-1}{3n}, [/mm] n+1) jeweils enthalten. Nach der betrachtung der beiden menge hätte ich die Vereinigung betrachtet. Nur weiß ich nicht wie ich sup bzw. inf der beiden mengen bestimmen soll, wenn das, was ich zuvor geschrieben habe, falsch ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Sa 12.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Du sollst doch nicht inf und sup der beteilgten Intervalle bestimmen, sondern von deren Vereinigung M. Bestimme also erstmal M.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Stehe jetzt irgendwie aufm schlauch, wie soll ich denn die vereinigung der beiden mengen bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Stehe jetzt irgendwie aufm schlauch, wie soll ich denn die
> vereinigung der beiden mengen bestimmen?
Es ist M= $ [mm] \bigcup_{n \in IN} [/mm] $ [(n, $ [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) \cap [/mm] $ (n+ $ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] $ n+1) ]
Bestimm zuerst $ [(n, $ [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) \cap [/mm] $ (n+ $ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] $ n+1) ]
und dann M
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Muss ich dann quasi die jeweiligen Intervallgrenzen miteinander schneiden?
Also z.B. n und [mm] n+\bruch{2n-1}{3n}. [/mm] Wie krieg ich jetzt aber raus, was in dem Schnitt liegt, spontan hätte ich ja n gesagt, aber das gehört ja nicht dazu, weil's ein offenes Intervall ist...
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> Muss ich dann quasi die jeweiligen Intervallgrenzen
> miteinander schneiden?
Hallo,
was soll das bedeuten? Wie soll man Zahlen schneiden? Und was bedeutet es, wenn man "quasi schneidet"?
"Schnitt" ist für Mengen, und Du sollst feststellen, welche Zahlen in beiden Mengen liegen.
Es wäre nicht ganz ungeschickt, wenn Du Dir mal für n=1,2,...,10 die Mengen (n, [mm] n+\bruch{n+1}{2n}), (n+\bruch{2n-1}{3n},n+1), [/mm] und (n, $ [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) \cap [/mm] $ (n+ $ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] $ n+1) notieren würdest.
Mit konkreten Zahlen blickt man ja meist etwas besser durch, und das, was Du rausgefunden hast, kanst Du anschließend ja allgemein formulieren und zeigen.
LG Angela
> Also z.B. n und [mm]n+\bruch{2n-1}{3n}.[/mm] Wie krieg ich jetzt
> aber raus, was in dem Schnitt liegt, spontan hätte ich ja
> n gesagt, aber das gehört ja nicht dazu, weil's ein
> offenes Intervall ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also habs mal mit ein paar Zahlen ausprobiert, och erhalte dann als Schnitt: [n+ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] n+ [mm] \bruch{n+1}{2n}). [/mm] Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Sa 12.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Also habs mal mit ein paar Zahlen ausprobiert, och erhalte
> dann als Schnitt: [n+ [mm]\bruch{2n-1}{3n},[/mm] n+
> [mm]\bruch{n+1}{2n}).[/mm]
Ist das in Wahrheit ein ( anstatt eines [? Dann stimmt es genau dann, wenn für dich [m](1,0)=\emptyset[/m] gilt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Nein, ich dachte eigentlich, die linke seite würde dazugehören...
Soll ich aus deiner Antwort folgern, dass meine Lösung falsch ist? Wie ist es denn dann richtig?
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> Nein, ich dachte eigentlich, die linke seite würde
> dazugehören...
>
> Soll ich aus deiner Antwort folgern, dass meine Lösung
> falsch ist? Wie ist es denn dann richtig?
Hallo,
das sollst ja Du herausfinden...
Ich hatte Dir doch den Tip gegeben (nach dem Motto: "rechnen statt denken"), erstmal zur Orientierung die Mengen für n=1,2,3,...10 aufzuschreiben.
Das war kein Witz! Ich hatt' mir etwas dabei gedacht, und ich fürchte, Du hast meinen Rat nur in sehr abgespeckter Form befolgt...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also ich hattes es für n=1 bis n=4 ausprobiert, da klappts:
n=1 (1,3) [mm] \cap [/mm] [4/3, 2) --> dann liegt [4/3,2) doch im Schnitt
n=2 (2,11/4) [mm] \cap [/mm] [5/2, 3) --> [5/2 , 11/4) liegt im Schnitt usw.
Also ergibt sich doch als Schnitt immer [n+ [mm] \bruch{2n-1}{3n} [/mm] , n+ [mm] \bruch{n+1}{2n}). [/mm] Wo liegt denn mein Denkfehler?
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> Also ich hattes es für n=1 bis n=4 ausprobiert, da
> klappts:
> n=1 (1,3) [mm]\cap[/mm] [4/3, 2) --> dann liegt [4/3,2) doch im
> Schnitt
> n=2 (2,11/4) [mm]\cap[/mm] [5/2, 3) --> [5/2 , 11/4) liegt im
> Schnitt usw.
> Also ergibt sich doch als Schnitt immer [n+
> [mm]\bruch{2n-1}{3n}[/mm] , n+ [mm]\bruch{n+1}{2n}).[/mm] Wo liegt denn mein
> Denkfehler?
Hallo,
Dein erster Denkfehler ist, daß Du offensichtlich daraus, daß etwas für 1,2,3,4 klappt, schließt, daß es immer funktioniert.
Dein zweiter Fehler ist, daß Du diese Erkenntnis nicht zu beweisen versuchst.
Dein dritter Fehler ist, daß Du hier um Rat fragst, aber den Rat, den ich Dir bereits zweimal gab, nicht befolgst. Irgendwelche Gründe dafür wirst Du haben - ich muß ja nicht alles verstehen...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Du hast Recht, ab n=5 (dann gilt: $ [mm] \bruch{2n-1}{3n} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n+1}{2n}). [/mm] $), geht diese Regel nicht mehr. Ab dann ist meines Erachtens der Schnitt leer. Wie ich dies allerdings richtig beweise, weiß ich nicht.
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> Du hast Recht, ab n=5 (dann gilt: [mm]\bruch{2n-1}{3n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{2n}). [/mm]), geht diese Regel nicht mehr. Ab dann
> ist meines Erachtens der Schnitt leer. Wie ich dies
> allerdings richtig beweise, weiß ich nicht.
Hallo,
Du rechnest jetzt einfach mal vor, für welche n das eine Intervallende kleiner als der Anfang des nächsten Intervalls ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 15.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Bis n=4 hatte ich es ja schon.
n=5. (5;5,6) [mm] \cap [/mm] [5,6,6)
n=6. (6;6,583333) [mm] \cap [/mm] [6,6111 ; 7)
n=7. (7; 7,57) [mm] \cap [/mm] [7,62;8)
n=8. (8; 8,5625) [mm] \cap [/mm] [ 8,8333 ;9)
n=9. (9; 9,5555) [mm] \cap [/mm] [9,63 ;10)
n=10. (10; 10,55) [mm] \cap [/mm] [10,63333 ; 11)
Wie gesagt: Ab n=5 geht's nicht mehr. Meine Frage nach dem Beweis und wie's dann weiter geht, bleibt.
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> Bis n=4 hatte ich es ja schon.
> n=5. (5;5,6) [mm]\cap[/mm] [5,6,6)
> n=6. (6;6,583333) [mm]\cap[/mm] [6,6111 ; 7)
> n=7. (7; 7,57) [mm]\cap[/mm] [7,62;8)
> n=8. (8; 8,5625) [mm]\cap[/mm] [ 8,8333 ;9)
> n=9. (9; 9,5555) [mm]\cap[/mm] [9,63 ;10)
> n=10. (10; 10,55) [mm]\cap[/mm] [10,63333 ; 11)
Lt. Aufgabenstellung sind das alles offene Intervalle!
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> Wie gesagt: Ab n=5 geht's nicht mehr. Meine Frage nach dem
> Beweis und wie's dann weiter geht, bleibt.
Hallo,
ich hatte auf diese Frage bereits geantwortet:
zeige, daß für n>5 gilt
$ [mm] n+\bruch{n+1}{2n}
Damit ist doch klar, daß die Schnitte für n>5 leer sind.
Dann schreibst Du die 5 verbleibenden zu vereinigenden Schnittmengen hin, guckst, welche Menge M das ergibt und sagst Supremum etc.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 15.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Nein, dass 2. Intervall ist halboffen (hatte das vor geraumer Zeit in der Aufgabenstellung verbessert)
Was dann der Schnitt ist, hatte ich doch schonmal gesagt:
[ [mm] n+\bruch{2n-1}{3n}; n+\bruch{n+1}{2n} [/mm] )
Das stimmt ja dann für n kleiner gleich 5.
Meiner meinung nach, ist dann das Inf=4/3 und auch Minimum und 28/5 ist dann Sup, aber kein maximum, weil es nicht dazugehört (zur menge)
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Hallo,
> Nein, dass 2. Intervall ist halboffen (hatte das vor
> geraumer Zeit in der Aufgabenstellung verbessert)
>
achso.
> Was dann der Schnitt
von (n, [mm] n+\bruch{n+1}{2n}) [/mm] und [n+ [mm] \bruch{2n-1}{3n}, [/mm] $ n+1)
> ist, hatte ich doch schonmal gesagt:
> [ [mm]n+\bruch{2n-1}{3n}; n+\bruch{n+1}{2n}[/mm] )
> Das stimmt ja dann für n kleiner gleich 5.
Einigen wir uns darauf, daß es für n<5 stimmt.
Ja, das kann man durch Einsetzen zeigen.
Daß der Schnitt für n>5 leer ist, ist zu zeigen. So wie ich es zuvor angedeutet hatte.
Für n=5 ist die Menge, die Du oben aufschreibst, erklärungsbedürftig...
Vielleicht notierst Du nochmal, was in diesem Fall geschitten wird und nennst das Ergebnis.
> Meiner meinung nach, ist dann das Inf=4/3
Du redest vom Infimum der Vereinigung der Schnittmengen, also von infM?
Das stimmt.
Falls Du die Aufgabe als Hausübung abgibst, mußt Du darauf achten, alles nachvollziehbar und begründet zu präsentieren.
Es würde z.B. unbedingt dazugehören, daß Du hinschreibst M=..., daß man also einwandfrei sieht, welche Elemente in M enthalten sind.
Übers Supremum solltest Du nochmal nachdenken.
LG Angela
> und auch Minimum
> und 28/5 ist dann Sup, aber kein maximum, weil es nicht
> dazugehört (zur menge)
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