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| Aufgabe | Bestimmen Sie - falls existierend - das Supremum und das Infimum der nachfolgenden Mengen reeller Zahlen. Sind diese auch Maxima und Minima?
[mm] \{\bruch{m}{n} | m,n \in \IZ, n>m\ge1 \} [/mm] |
Hallo ihr,
ich bin mir bei diesem Beispiel nicht sicher, ob ich's richtig gerechnet hab. Nun, da n>m ist und [mm] m\ge1 [/mm] dachte ich mir, dass m immer kleiner als n ist.
Wenn sowohl m als auch n gegen [mm] \infinit [/mm] läuft, dann konvergiert das ganze ja gegen eins, da ja m nachwievor kleiner als n ist. Ich hab aber mal ne Variante gesehen, bei der [mm] n>m\ge1 [/mm] umgeformt wurde in [mm] 1>\bruch{m}{n}\ge\bruch{1}{n}. [/mm] Dann sieht das Ergebnis ja ganz anders aus!?! Stimmt dieser Ansatz? Wenn ja, dann würd ich mich freuen, wenn mir das jemand erklären kann.
Gruß,
Brauni
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> Bestimmen Sie - falls existierend - das Supremum und das
> Infimum der nachfolgenden Mengen reeller Zahlen. Sind diese
> auch Maxima und Minima?
>
> [mm]\{\bruch{m}{n} | m,n \in \IZ, n>m\ge1 \}[/mm]
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> Nun, da n>m ist und [mm]m\ge1[/mm] dachte ich
> mir, dass m immer kleiner als n ist.
Hallo,
das war messerscharf gefolgert...
>
> Wenn sowohl m als auch n gegen [mm]\infty[/mm] läuft, dann
> konvergiert das ganze ja gegen eins, da ja m nachwievor
> kleiner als n ist.
Ich verstehe, was Du meinst: weil m immer kleiner als n ist, bleibt der Bruch stets kleiner als 1. Wenn sich aber m und n nur wenig unterscheiden und sehr groß werden, geht der Bruch beliebig dicht an 1.
Gute und richtige Überlegung.
>Ich hab aber mal ne Variante gesehen,
> bei der [mm]n>m\ge1[/mm] umgeformt wurde in
> [mm]1>\bruch{m}{n}\ge\bruch{1}{n}.[/mm] Dann sieht das Ergebnis ja
> ganz anders aus!?!
Nein. Da steht doch zunächst das, was Du sagst: [mm] 1>\bruch{m}{n}.
[/mm]
Und zusätzlich noch etwas anderes: [mm] \bruch{m}{n}\ge\bruch{1}{n}.
[/mm]
Nun, bruch{1}{n} ist immer >0.
Der Verdacht, den man nun schöpft, ist folgender: das Supremum ist =1, und das Infimum ist =0.
Das mußt du nun beweisen. Da? beides obere bzw. untere Schranken sind, ist aufgrund der obigen Überlegungen klar.
Bleibt: 1 ist die kleinste obere Schranke und 0 entsprechend die größte untere.
Gruß v, Angela
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