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| Aufgabe | Sei M eine nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von [mm]\IR\ [/mm].
a) Die Menge [mm]-M := \{-x|x \in \ M\}[/mm] ist nach unten beschränkt und [mm]inf (-M)= - sup M[/mm].
b) Sei S die Menge aller oberen Schranken von M. Dann ist S nach unten beschränkt und inf S = sup M. |
Das fängt ja schon gut an, da bekomme ich mein erstes Übungsblatt und schon ergibt sich für mich aus dieser Aufgabe noch nicht mal eine Fragestellung. Also was genau soll ich denn machen?
Ich vermute beweisen?
Da ich die ganze Sache mit den Beweisen aber noch nicht so raus habe, wäre ich sehr dankbar für einige Ansätze, und ggf. auch Lösungen. Ja ich weiß man soll sich das erarbeiten, aber ich versteh die Sache mit dem Infimum und Supremum nicht. Also wäre ich für eine Idioten sichere Erklärung auch sehr dankbar. Liebe grüße ans Forum und vielen Dank im vorraus.
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> Sei M eine nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von
> [mm]\IR\ [/mm].
> a) Die Menge [mm]-M := \{-x|x \in \ M\}[/mm] ist nach unten
> beschränkt und [mm]inf (-M)= - sup M[/mm].
> b) Sei S die Menge
> aller oberen Schranken von M. Dann ist S nach unten
> beschränkt und inf S = sup M.
> Also was genau
> soll ich denn machen?
> Ich vermute beweisen?
Hallo,
diese Hürde hast Du somit mit Eleganz genommen: in der Tat sollst Du das beweisen. Wo es keine Fragen gibt, macht man sich welche.
> aber ich versteh die Sache mit dem Infimum und
> Supremum nicht.
Laß uns zuerst über "Supremum" reden.
Möchte man das tun, muß man einen Schrit zurückgehen und sich mit dem Begriff "obere Schranke" befassen.
Zunächst die Definition:
Eine Teilmenge A von [mm] \IR [/mm] heißt nach oben beschränkt, wenn es ein S [mm] \in \IR [/mm] gibt mit [mm] a\le [/mm] S für alle [mm] a\in [/mm] A.
S heißt eine obere Schranke von A.
Im Worten: A ist beschränkt, wenn man eine Zahl S findet, so daß alle Elemente von A kleiner sind als S.
Die "obere Schranke" ist eben eine obere Schranke. Das kannst Du Dir vorstellen, oder?
Wenn Dir klar ist, was eine obere Schranke ist, sollte Dir auch klar sein, daß eine Menge mehrere obere Schranken haben kann.
Ist es Dir klar? Ja? Dann sag ein Beispiel für eine Menge, und gib verschiedene obere Schranken an.
Fallen Dir auch Teilmengen von [mm] \IR [/mm] ein ohne obere Schranke, also nach oben nicht beschränkte? Sag mal zwei!
Weiterzulesen brauchst Du erst, wenn Dir bis hier alles klar ist.
Jetzt kommt's Supremum...
Wie ist das definiert?
Sei [mm] A\subseteq \IR.
[/mm]
Ein K [mm] \in \IR [/mm] heißt Supremum von A, wenn K die kleinste obere Schranke von A ist.
"K ist Supremum" beinhaltet also zweierlei: i) K ist eine obere Schranke von A.
und ii) von allen oberen Schranken ist K die kleinste.
Den Sachverhalt ii) kann man auch so ausdrücken (und muß ihn oft in dieser Form verwenden):
wenn K das Supremum ist, und K' eine weitere obere Schranke,
so ist K'>K.
Da steckt kein Geheimnis hinter. Wenn K die kleinste obere Schranke ist, muß K' - sofern es auch eine obere Schranke ist - größer sein als K.
Kapiert?
Dann verstehtst Du auch das nächste:
Mal angenommen, K ist das Supremum von A, und Du findest ein K'' mit K''< K. Dann kann K'' nicht das Supremum von A sein.
Klar???
Wenn Du alles bis hierher verstanden hast, kannst Du Dir völlig analog zu dem, was ich über obere Schranke und Supremum geschrieben habe, klarmachen, was es mit unterer Schranke und Infimum auf sich hat.
Zum Beweis zunächst nur so viel:
Natürlich haben Beispiele keinerlei Beweiskraft.
Trotzdem kann man an ihnen so viel verstehen.
Solche Aufgaben wie diese
Sei M eine nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von
> [mm]\IR\ [/mm].
> a) Die Menge [mm]-M := \{-x|x \in \ M\}[/mm] ist nach unten
> beschränkt und [mm]inf (-M)= - sup M[/mm].
gehe ich so an, daß ich mir erstmal ein Beispiel aufschreibe oder -male.
Such Dir eine übersichtliche, nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] welche Du M nennst.
Jetzt überlege Dir, welche Elemente überhaupt in -M liegen.
Zeichne das Infimum von -M ein. Das Supremum von M.
Und? Paßt das zu dem, was Du in der Aufgabe zeigen sollst?
Jetzt kannst Du zu beweisen anfangen.
Sei M eine nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von
[mm] \IR [/mm] und sei -M := [mm] \{-x|x \in \ M\}.
[/mm]
Weil M n.o. beschränkt, gibt es ein S mit [mm] S\ge [/mm] x für alle x [mm] \in [/mm] M
==> -S [mm] \le [/mm] ...
==> ...
==> ... ist untere Schranke von -M
==> -M ist nach unten beschränkt,
womit a) bewiesen ist.
zu b)
M ist nach Voraussetzung nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] deshalb hat M ein Supremum. (Ein wichtiger Satz, der ganz sicher in der Vorlesung dran war.)
Beh: -supM= inf (-M)
z.z. 1. -sup(M) ist eine untere Schranke von M
2. Es ist die größte untere Schranke
zu1. Mach mal!
zu 2. Angenommen es gäbe eine größere untere Schranke s.
Also s>-sup(M) und s<y für alle y\ in -M
==> ...
Wenn Du alles verstanden hast, müßtest Du Dixch an dem Beweisgerüst entlanghangeln können.
Sonst: fragen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Do 26.10.2006 | | Autor: | Hollo |
Hallo Angela!
Die Frage stammte zwar nicht von mir aber trotzdem vielen Dank für diesen Beitrag. Hat mir sehr viel weiter geholfen! In der Vorlesung und in Büchern wird das nie so anschaulich erklärt..
Gruß Hollo
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