Supremum < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 15.12.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei M [mm] \subset \IR [/mm] eine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie, dass m [mm] \in\IR [/mm] genau dann Supremum von M ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für alle [mm] x\in [/mm] M gilt x [mm] \le [/mm] m und für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] x\in [/mm] M mit x [mm] \ge m-\varepsilon. [/mm] |
Hi!
Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen. Ich finde leider keinen Ansatz um dies zu beweisen. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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Hallo Petrit,
ich übersetze mal, und Du schaust nach, was davon Dir bekannt vorkommt. 
> Sei M [mm]\subset \IR[/mm] eine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie,
> dass m [mm]\in\IR[/mm] genau dann Supremum von M ist, wenn folgende
> Bedingung erfüllt ist:
> Für alle [mm]x\in[/mm] M gilt x [mm]\le[/mm] m und für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0
> existiert ein [mm]x\in[/mm] M mit x [mm]\ge m-\varepsilon.[/mm]
>
> Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen. Ich finde
> leider keinen Ansatz um dies zu beweisen. Ich hoffe ihr
> könnt mir weiterhelfen.
Die 1. Aussage:
> Für alle [mm] x\in{M} [/mm] gilt [mm] x\le{m}.
[/mm]
$M$ enthält also kein Element, das größer ist als $m$.
Die 2. Aussage:
> für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm]
> existiert ein [mm] x\in{M} [/mm] mit [mm] x\ge m-\varepsilon.
[/mm]
Mit den Elementen von $M$ kommt man beliebig nah an $m$ heran.
So, und jetzt schaust Du mal Eure Definition von Supremum nach. Wie kannst Du das verwenden?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Die 2. Aussage übersetze ich anders als reverend:
Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] m-\varepsilon [/mm] ist keine obere Schranke von M.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mo 16.12.2013 | | Autor: | reverend |
Tach Fred,
das gefällt mir besser. Dann würde ich aber auch die 1. Aussage anders übersetzen:
1) $m$ ist eine obere Schranke von $M$.
2) für [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist [mm] m-\varepsilon [/mm] keine obere Schranke von $M$.
Herzliche Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Tach Fred,
Moin rev,
>
> das gefällt mir besser. Dann würde ich aber auch die 1.
> Aussage anders übersetzen:
>
> 1) [mm]m[/mm] ist eine obere Schranke von [mm]M[/mm].
Das ist aber mal lyrisch ....
> 2) für [mm]\varepsilon>0[/mm] ist [mm]m-\varepsilon[/mm] keine obere
> Schranke von [mm]M[/mm].
Ich möchte nicht als Düpfelesscheisser (so sagt man bei uns im Süden der Republik für Wortklauber) erscheinen, aber das Wort "jedes" ist schon wichtig:
"für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ist [mm]m-\varepsilon[/mm] keine obere Schranke von [mm]M[/mm]".
Gruß FRED
>
> Herzliche Grüße
> rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Erstmal danke für die vielen Tipps.
Ich bin jetzt zu dem Schluss gekommen, sobald ich von meinem m eine beliebig kleine Zahl [mm] \varepsilon [/mm] >0 abziehe ist dies nicht mehr die unterste oberste Schranke von M und somit ist mein x nicht mehr kleiner-gleich m sondern nun ist mein x größer-gleich [mm] m-\varepsilon. [/mm] Wie kann ich das nun beweisen, per Widerspruch? Könnte mir a vielleicht jemand einen kleinen Schups geben? Wäre echt super!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Sei m = sup M. Dann ist gilt x [mm] \le [/mm] m für alle x [mm] \in [/mm] M. Das dürfte klar sein.
Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so ist m - [mm] \varepsilon [/mm] <m. Damit kann m - [mm] \varepsilon [/mm] keine obere Schranke von M sein.
Also muß es ein x [mm] \in [/mm] M geben mit: x > m - [mm] \varepsilon.
[/mm]
2.Nun gelte x $ [mm] \le [/mm] $ m für alle $ [mm] x\in [/mm] $ M und für alle $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 existiere ein $ [mm] x\in [/mm] $ M mit x $ > [mm] m-\varepsilon. [/mm] $
Zu zeigen: m=supM.
Nimm an, das sei nicht der Fall. Sei s= sup M. Dann ist s<m, also m-s>0. Wähle nun [mm] \varepsilon:= [/mm] m-s.
Mit der Vor. bekommst Du dann einen Widerspruch.
Mach mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Erstmal danke für die Hilfe. ch habe das nun eingesetzt und bekomme -s<m und x>-s. Ist dieses .s jetzt mein Infimum und nicht mein Supremum? Ist dies nun mein Widerspruch? Habe ich das richtig versanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für die Hilfe. ch habe das nun eingesetzt
> und bekomme -s<m und x>-s.
Nein. Wie kommst Du darauf ????
> Ist dieses .s jetzt mein Infimum
> und nicht mein Supremum? Ist dies nun mein Widerspruch?
> Habe ich das richtig versanden?
Nein. Zu [mm] \varepsilon [/mm] = m-s gibt es nach Vor. ein x [mm] \in [/mm] M mit:
x> m - [mm] \varepsilon= [/mm] m-(m-s)=s.
Siehst Du den Widerspruch ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Ach jetzt sehe ich das. Dann wäre mein x ja größer als mein s und da s mein Supremum ist, kann es kein x>s geben. Somit ist die Annahme falsch, dass s mein Supremum von s ist und folglich ist m mein Supremum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ach jetzt sehe ich das. Dann wäre mein x ja größer als
> mein s und da s mein Supremum ist, kann es kein x>s geben.
> Somit ist die Annahme falsch, dass s mein Supremum von s
> ist und folglich ist m mein Supremum.
Bingo !
FRED
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