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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 14.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Jedem n [mm] \in \IN [/mm] sei ein nach oben beschränktes [mm] A_n \subset \IR [/mm] zugeordnet. Weiter sei [mm] a_n [/mm] :=sup [mm] A_n [/mm] , C:= [mm] \{ a_n | n \in \IN \} [/mm] und A:= [mm] \bigcup_{n \in \IN}A_n [/mm] = [mm] \{x \in \IR | \exists n \in \IN : x \in A_n \} [/mm]
Zeigen Sie: supC existiert genau dann, wenn supA existiert, und im Fall der Existenz gilt sup A = sup C |
Ich finde die Angage ist nicht besonders leicht zu lesen.
Also erstmal meine Frage, ob ich alles richtig verstanden hab:
[mm] A_n [/mm] ist ja dann ne Folge über die nichts bekannt ist, außer dass sie nach oben Beschränkt ist, also ja folglich auch ein Maxiumum/Supremum hat.
[mm] a_n [/mm] ist eine Zahl und einfach nur das Supremum dieser Folge
Und jetzt komm ich so nicht mehr weiter, weil C ist dann ja die Menge aller [mm] a_n [/mm] aber das macht nach meine Erklärung ja nicht wirklcih viel Sinn, also denke ich, dass ich da was falsch verstandne habe.
Ich hoffe mich kann da jemand berichten ;)
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Hallo!
> Jedem n [mm]\in \IN[/mm] sei ein nach oben beschränktes [mm]A_n \subset \IR[/mm]
> zugeordnet. Weiter sei [mm]a_n[/mm] :=sup [mm]A_n[/mm] , C:= [mm]\{ a_n | n \in \IN \}[/mm]
> und A:= [mm]\bigcup_{n \in \IN}A_n[/mm] = [mm]\{x \in \IR | \exists n \in \IN : x \in A_n \}[/mm]
> Zeigen Sie: supC existiert genau dann, wenn supA existiert,
> und im Fall der Existenz gilt sup A = sup C
> Ich finde die Angage ist nicht besonders leicht zu lesen.
> Also erstmal meine Frage, ob ich alles richtig verstanden
> hab:
>
> [mm]A_n[/mm] ist ja dann ne Folge über die nichts bekannt ist,
> außer dass sie nach oben Beschränkt ist, also ja folglich
> auch ein Maxiumum/Supremum hat.
Nein, [mm] A_{n} [/mm] ist eine Menge, genauer: eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] das erkennt man an [mm] $A_{n}\in\IR$ [/mm] und das später auch eine Vereinigung dieser Mengen gebildet wird. Man kann dann [mm] (A_{n})_{n\in\IN}, [/mm] wenn man möchte, als Folge interpretieren.
> [mm]a_n[/mm] ist eine Zahl und einfach nur das Supremum dieser
> Folge
[mm] a_{n} [/mm] bezeichnet also jeweils das Supremum der Menge. [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] kann als Folge interpretiert werden, muss aber nicht. Für die Lösung der Aufgabe könnte es von Nutzen sein.
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Also:
1. [mm] $A_n \subset \IR$ [/mm] ist eine nach oben beschränkte Menge.
2. [mm] $a_{n} [/mm] := [mm] sup(A_{n})$ [/mm] ist das Supremum der Menge [mm] A_{n}.
[/mm]
3. $C := [mm] \{a_{n}|n\in\IN\}$ [/mm] ist die Menge aller [mm] a_{n}, [/mm] d.h. die Menge der Suprema aller Mengen [mm] A_{n}.
[/mm]
4. [mm] $A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ [/mm] ist die Vereinigung aller Mengen [mm] A_{n} [/mm] zu einer "Gesamtmenge" A.
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$sup(A) = sup(C)$ heißt also anschaulich:
Es ist egal, ob ich erst alle Mengen [mm] A_{n} [/mm] vereinige und dann von dieser Menge das Supremum bestimme,
oder erst alle Suprema der Mengen [mm] A_{n} [/mm] bestimme, und dann von dieser Menge aller Suprema nochmal das Supremum bestimme -
es kommt dasselbe raus.
Für den Beweis, erster Teil (Genau dann wenn sup(A) existiert, existiert auch sup(C) ):
Du musst zeigen, dass
1) aus der Existenz von sup(A) folgt, dass sup(C) existiert,
2) aus der Existenz von sup(C) folgt, dass sup(A) existiert.
Grüße,
Stefan
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In der Angabe steht ja, durch die Existiens von sup A folgt, dass sup C existiert.
Muss ich dann wirklich auch die andere Richtung beweisen?
Und wie mache ich das: meine Überlegung:
Wenn sup(A) existiert dann existiert auch x mit x [mm] \in A_n [/mm] => es existiert auch ein [mm] A_n [/mm] und daraus folg auch [mm] a_n [/mm] exisitert.
also gibt es auch supC
kann man das so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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