Summierte Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Elph |
| Aufgabe | | P(X [mm] \le [/mm] 27) = F(100;0,35;27) |
Der Wert p = 0,35 steht nicht in der Tabelle für die summierte Binomialverteilung. Unser Lehrer rechnet dann immer einfach die Wahrscheinlichkeiten für p = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und p = 0,4 zusammen und teilt das dann durch 2. Also für das Beispiel:
F(100;0,35;27) = (0,1066 + 0,0046) : 2 = 0,0556
Darf man das so einfach? Und wenn ja, wäre es nicht besser, p = 0,3 und p = 0,4 zu addieren, weil 0,7 : 2 = 0,35 ist?
Wenn nein, was macht man dann? Geht das nur über eine Näherung mit der Normalverteilung?
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
lg Elph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Sa 22.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Elph,
deine Frage ist in der Tat sehr interessant.
Intuitiv scheint dein Ansatz die bessere Wahl zu sein. Allerdings kann man mathematisch so nicht argumentieren, weil die Wahrscheinlichkeitsfunktionen nicht linear steigen. Man muß also schon genauer untersuchen, wie gut in jedem möglichen Fall deine Näherung und die deines Lehrers ist. Das habe ich getan, indem ich zunächst für die Methode deines Lehrers die Differenz zwischen seiner Näherung und dem exakten Ergebnis berechnet habe. Das Ergebnis siehst du in dem folgenden Diagramm:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Auffällig ist, daß diese Näherung für den Wert 27 aus deiner Aufgabe fast perfekt ist. Für höhere Werte liegt die Näherung allerdings zT inakzeptabel weit unter dem wahren Wert. Zum Beispiel ist
F(100, 0.35, 38) = 0.7698708358.....
Dagegen liefert die Näherung deines Lehrers nur den Wert 0.6226177608.... . Die Differenz beträgt ca. -0.147253075..., was du auch im obigen Diagramm bei 38 gut erkennen kannst.
Für Werte unter 27 ist die Näherung deines Lehrers allerdings ausgezeichnet.
Nun kommen wir zu deinem Vorschlag. Ich habe die damit ermittelten Werte genau wie oben mit den exakten Werten verglichen und die Differenzen in dem folgenden Diagramm eingezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst, daß dein Näherungsvorschlag für Werte bis 34 zu hoch greift, während deine Näherungen ab 35 zu niedrig liegen. Trotzdem ist deine Näherung für Werte ab 35 deutlich zu bevorzugen.
Hat das deine Frage beantwortet?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Elph |
Ok, das beantwortet meine Frage, aber wo hast du denn die exakten Werte für p = 0,35 her? Aus einem Computerprogramm?
Gibt es für solche Werte von p auch Tabellen zur summierten Binomialverteilung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Sa 22.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
ich verwende MuPAD (www.mupad.de). Dazu gibt es hier übrigens auch ein Forum.
Bücher und Tabellen gibt es wie Sand am Meer. Sehr wahrscheinlich auch solche für etwas exotischere p-Werte. Für den Schulgebrauch würde ich im Normalfall die Näherung über die Normalverteilung (Laplace-de Moivre) empfehlen, die bei Standardabweichungen über 3 i.d.R. ausgezeichnet ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Elph |
Vielen lieben Dank ^^
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