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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für beliebige reelle Zahlen [mm] x_1,..,x_5 [/mm] gilt
a) [mm] \summe_{i=1}^{5}[x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j]=0
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{5}[x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j]^2=\summe_{i=1}^{5}x^2_i-\bruch{1}{5}(\summe_{i=1}^{5}x_i)^2
[/mm]
Gelten diese Aussagen noch, wenn 5 durch eine beliebige natürliche Zahl n ersetzt wird? |
Hallo,
also bei a) war der Nachweis kein Problem, als Antwort habe ich zu der Frage: Ja.
Nun zur b)
Ist dieser Ansatz korrekt:
[mm] \summe_{i=1}^{5}((x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j)(x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j))=\summe_{i=1}^{5}x^2_i-\bruch{1}{5}(\summe_{i=1}^{5}x_i*\summe_{i=1}^{5}x_i)
[/mm]
Ich habe alles komplett ausgeklammert und umgeformt, am Ende habe ich [mm] x_i=2,5 x_j [/mm] + 1 rausbekommen. Das ist also auf jeden Fall falsch, und somit hieße die Antwort auch Nein.
Bitte nur sagen, ob Ansatz korrekt. Will dann selbst noch mal rechnen.
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Sa 15.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mit Ansatz meinst, dass du die Behauptung richtig umgeformt hast, dann ist der Ansatz richtig.
du hast ja nur hingeschrieben , dass [mm] a^2=a*a
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Sa 15.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Machen wir gleich den allgemeinen Fall
[mm] \summe_{i=1}^{N}\left[x_i-\bruch{1}{N}\summe_{j=1}^{N}x_j\right]^2
[/mm]
Die Klammer in der Summe ausmultiplizieren führt auf
[mm] \summe_{i=1}^{N}\left[x_i^2-2*x_i*\bruch{1}{N}\summe_{j=1}^{N}x_j+\bruch{1}{N^2}\left(\summe_{j=1}^{N}x_j\right)^2\right]=\summe_{i=1}^{N}x_i^2-\bruch{2}{N}\summe_{i=1}^{N}x_i\summe_{j=1}^{N}x_j+\bruch{1}{N^2}\summe_{i=1}^{N}\left(\summe_{j=1}^{N}x_j\right)^2
[/mm]
und jetzt noch alles vereinfachen und zusammenfassen.
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Oh Mann, ich weiss eigentlich ist die Aufgabe ganz einfach.
Habe aber irgendwo Mist gebaut, wär nett wenn mir jemand sagt, wo:
[mm] \summe_{i=1}^{5}[x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j]^2=\summe_{i=1}^{5}-\bruch{1}{5}(\summe_{i=1}^{5}x_i)^2
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{5}(x_i^2-\bruch{2}{5}\summe_{j=1}^{5}x_jx_i+\bruch{1}{25}\summe_{j=1}^{5}x_j)= \summe_{i=1}^{5}x_i^2-\bruch{1}{5}(\summe_{i=1}^{5}x_i*\summe_{i=1}^{5}x_i)
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{5}x_i^2-2\summe_{j=1}^{5}x_ix_j+\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j=\summe_{i=1}^{5}x_i^2-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i
[/mm]
[mm] \gdw -2\summe_{j=1}^{5}x_jx_i+\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j=-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{2}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j(5x_i-\bruch{1}{2}\summe_{j=1}^{5}x_j)=-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i
[/mm]
[mm] \gdw 5x_i-\bruch{1}{2}\summe_{j=1}^{5}x_j=1
[/mm]
Ausserdem kann ich mich des Gefühls nicht verwehren, dass ich es unnötig kompliziert mache. Stimmt das?
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Sa 15.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Oh Mann, ich weiss eigentlich ist die Aufgabe ganz einfach.
>
> Habe aber irgendwo Mist gebaut, wär nett wenn mir jemand
> sagt, wo:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{5}[x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j]^2=\summe_{i=1}^{5}-\bruch{1}{5}(\summe_{i=1}^{5}x_i)^2[/mm]
Hier fehlt auf der rechten Seite ein [mm] x_1^2 [/mm] hinter der ersten Summe. Aber ich würde die rechte Seite ganz weglassen und einfach nur die linke Seite ausrechnen.
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{5}(x_i^2-\bruch{2}{5}\summe_{j=1}^{5}x_jx_i+\bruch{1}{25}\summe_{j=1}^{5}x_j)= \summe_{i=1}^{5}x_i^2-\bruch{1}{5}(\summe_{i=1}^{5}x_i*\summe_{i=1}^{5}x_i)[/mm]
Die letzte Summe auf der linken Seite muss zum Quadrat genommen werden.
Ich glaube das solltest Du erstmal korrigieren und dann machen wir weiter.
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Hallo nochmal,
stimmt ich habe bei der Aufgabenstellung einen Faktor vergessen.
So, nun betrachte ich dann nur die linke Seite und bekomme raus:
[mm] \summe_{i=1}^{5}x_i^2-2\summe_{j=1}^{5}x_ix_j+\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j^2
[/mm]
Ich würde ja jetzt wieder zusammenfassen mit der 2.B.F., aber der Bruch hindert mich daran.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Sa 15.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo nochmal,
>
> stimmt ich habe bei der Aufgabenstellung einen Faktor
> vergessen.
>
> So, nun betrachte ich dann nur die linke Seite und bekomme
> raus:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{5}x_i^2-2\summe_{j=1}^{5}x_ix_j+\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j^2[/mm]
Der Ausgangsausdruck war doch
[mm] \summe_{i=1}^{5}\left[x_i-\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j\right]^2
[/mm]
Das ergibt, s. Post von von mir vorher
[mm] \summe_{i=1}^{5}x_i^2-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+\bruch{1}{5^2}\summe_{i=1}^{5}\left(\summe_{j=1}^{5}x_j\right)^2
[/mm]
Versuche das mal nachzuvollziehen und dann rechne weiter
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Ja, danke erst mal für Deine Antwort.
Das habe ich nachvollzogen. Im zweiten und im dritten Term habe ich immer [mm] \summe_{i=1}^{5} [/mm] mit den Brüchen ausgerechnet, so dass ein Summenzeichen wegfiel.
Was soll ich denn stattdessen machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 15.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast da stehen
[mm] \summe_{i=1}^{5}x_i^2-2\summe_{j=1}^{5}x_ix_j+\bruch{1}{5}\summe_{j=1}^{5}x_j^2
[/mm]
und ich
[mm] \summe_{i=1}^{5}x_i^2-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+\bruch{1}{5^2}\summe_{i=1}^{5}\left(\summe_{j=1}^{5}x_j\right)^2
[/mm]
und das ist definitiv nicht das gleiche.
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Da komme ich auch erst hin:
Zum Beispiel mache ich das so:
[mm] ...-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+...
[/mm]
Dann schiebe ich die Faktoren bisschen rum:
[mm] ...-\summe_{i=1}^{5}\bruch{2}{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+...
[/mm]
Dann betrachte ich den Bruch als Konstante der ersten Summenformel und erhalte:
[mm] ...-2x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+...
[/mm]
Dann schiebe ich die Faktoren wieder rum und erhalte
[mm] ...-2\summe_{j=1}^{5}x_jx_i+...
[/mm]
Wie es aussieht darf ich das wohl nicht?!?
Muss ich die immer als Doppelsummen betrachten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 15.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Da komme ich auch erst hin:
>
> Zum Beispiel mache ich das so:
>
> [mm]...-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+...[/mm]
>
> Dann schiebe ich die Faktoren bisschen rum:
>
> [mm]...-\summe_{i=1}^{5}\bruch{2}{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+...[/mm]
Bis hier noch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann betrachte ich den Bruch als Konstante der ersten
> Summenformel und erhalte:
>
> [mm]...-2x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+...[/mm]
Und wo ist hier die erste Summe über i geblieben?
Mir fällt dabei noch gerade ein, da Du offensichtlich nicht sehr sicher im Umgang mit dem Summenzeichen bist, wie sieht den Dein Beweis zu a) aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Sa 15.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: setze in
$ [mm] \summe_{i=1}^{5}x_i^2-\bruch{2}{5}\summe_{i=1}^{5}x_i\summe_{j=1}^{5}x_j+\bruch{1}{5^2}\summe_{i=1}^{5}\left(\summe_{j=1}^{5}x_j\right)^2 [/mm] $
vorübergehend $a:= [mm] \summe_{j=1}^{5}x_j\$ [/mm] und bedenke [mm] \summe_{j=1}^{5}=\summe_{i=1}^{5}
[/mm]
FRED
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