Summenberechnung nach Gauß? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die endliche SUmme:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^{2}
[/mm]
Hinweis: Sie können vom Ansatz [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{2} [/mm] = [mm] c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}+c_{3}n^{3} [/mm] ausgehen und die Koeffizienten [mm] c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} [/mm] aus den Spezialfällen für n=1,2,3,4 herleiten. Anschließend müssen Sie zeigen, dass die so gefundene Formel allgemein für beliebige natürliche Zahlen n gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
hier habe ich gedacht, man könnte das über die Gaußsche Summenformel lösen, aber das geht wohl nicht oder?... kann mir jemand erklären wie das funktioniert? ich versteh diesen Hinweis nicht so ganz....
Vielen dank,
Eddy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mo 24.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die endliche SUmme:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{2}[/mm]
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> Hinweis: Sie können vom Ansatz [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{2}[/mm] =
> [mm]c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}+c_{3}n^{3}[/mm] ausgehen und die
> Koeffizienten [mm]c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}[/mm] aus den
> Spezialfällen für n=1,2,3,4 herleiten. Anschließend
> müssen Sie zeigen, dass die so gefundene Formel allgemein
> für beliebige natürliche Zahlen n gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
>
> hier habe ich gedacht, man könnte das über die Gaußsche
> Summenformel lösen, aber das geht wohl nicht oder?... kann
> mir jemand erklären wie das funktioniert? ich versteh
> diesen Hinweis nicht so ganz....
Das ist nicht schlimm. Finde einfach die Gesetzmäßigkeiten in der Summenfolge
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 206...
Du wirst feststellen, dass
[mm] s_2 [/mm] durch 5
[mm] s_3 [/mm] durch 7
[mm] s_4 [/mm] leider nicht durch 9
[mm] s_5 [/mm] aber wieder durch 11
[mm] s_6 [/mm] durch 13
[mm] s_7 [/mm] leider nicht durch 15
[mm] s_8 [/mm] aber wieder durch 17 teilbar ist.
Um die Lücken in der offensichtlichen Gesetzmäßigkeit zu beseitigen, solltest du jede Zahl mit 3 (oder besser gleich mit 6) erweitern:
6/6=3*(2/6)
30/6=5*(6/6)
84/6=7*(12/6)
180/6=9*(20/6)
...
Nun musst du nur noch die Gesetzmäßigkeit in der Folge
2, 6, 12, 20, ... finden.
Gruß Abakus
>
> Vielen dank,
>
> Eddy
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Hallo Abakus,
das ist zwar ein nettes Beispiel für heuristisches Vorgehen
der gehobeneren Art - aber vielleicht ist es doch
ein wenig gesucht, nach den Teilern zu suchen und
dann einen noch fehlenden (die 3) hinzuzufügen, damit
es "passt".
Für Heuristik-Experten und echte Pröbler ganz schön,
aber für Otto und Emma Normalkonsument möglicherweise
doch etwas zu hoch ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Eddy-Gordo |
super vielen Dank für die schnelle hilfe ;)
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> Berechnen Sie die endliche SUmme:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{2}[/mm]
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> Hinweis: Sie können vom Ansatz [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{2}[/mm] =
> [mm]c_{0}+c_{1}n+c_{2}n^{2}+c_{3}n^{3}[/mm] ausgehen und die
> Koeffizienten [mm]c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}[/mm] aus den
> Spezialfällen für n=1,2,3,4 herleiten. Anschließend
> müssen Sie zeigen, dass die so gefundene Formel allgemein
> für beliebige natürliche Zahlen n gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
>
> hier habe ich gedacht, man könnte das über die Gaußsche
> Summenformel lösen, aber das geht wohl nicht oder?... kann
> mir jemand erklären wie das funktioniert? ich versteh
> diesen Hinweis nicht so ganz....
>
> Vielen dank,
>
> Eddy
Hallo Eddy,
ich weiß, was du mit "Gaußscher Summenformel" meinst,
obwohl die entsprechende Idee zur Summation von (linearen)
arithmetischen Folgen bestimmt schon Jahrhunderte vor
C.F. Gauß bekannt war ...
Dieselbe Methode funktioniert aber für die vorliegende
Summe der Quadratzahlen nicht. Etwas kann man aber
aus der "Gauß-Formel"
[mm]\summe_{k=1}^{n}k\ =\ \frac{n*(n+1)}{2}\ =\ \frac{1}{2}\,n^2\,+\,\frac{1}{2}\,n[/mm]
für die neue Summe in Analogie übernehmen:
Die Summe der (linearen) k von [mm] k_{min}=1 [/mm] bis zu [mm] k_{max}=n
[/mm]
ergibt eine quadratische Funktion von n.
Analog erhält man bei der Bildung der vorliegenden Summe
[mm]\summe_{k=1}^{n}k^{2}[/mm]
der Quadrate [mm] k^2 [/mm] als Ergebnis eine kubische Funktion von n
(alles 1 Grad höher !)
Dies ist mit dem Hinweis in der Aufgabe gemeint.
Die mittels Hinweis gefundene Formel muss in einem
zweiten Schritt durch vollständige Induktion bewiesen
werden. Dies bleibt dir auch nicht erspart, wenn du dem
von Abakus vorgeschlagenen Weg zum Auffinden einer
Summenformel folgst.
LG Al-Chwarizmi
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