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| Aufgabe | Für alle [mm]N,m \geq 1[/mm] gilt
[mm]
\sum_{k=1}^{N^m} k^\frac{-(m-1)}{m} \leq N \cdot m ~ .
[/mm] |
Hallo,
obige Abschätzung kommt in einem Beweis vor, den ich für meine Masterarbeit verstehen möchte. Das sieht so einfach aus, aber ich bekomme es einfach nicht hin. Versucht habe ich schon Induktion nach $N$ und $m$ sowie alle einfachen Abschätzungen - nichts klappt. Tests mit Wolfram Alpha besteht die Ungleichung aber. Hat irgendjemand eine Idee? Sieht ja ein bisschen aus wie eine verallgemeinerte harmonische Reihe oder die Partialsumme einer Dirichlet-Reihe...
Vielleicht sieht es ja auch einfach jemand direkt oder hat so etwas schon einmal gesehen?
Über jegliche Hilfe/Anregungen wäre ich dankbar,
viele Grüße,
Reticella
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Betrachte die Funktion [mm]f_m[/mm] mit [mm]f_m(x) = x^{\frac{1}{m} - 1}[/mm] für [mm]x \geq 1[/mm]. Wegen [mm]m \geq 1[/mm] ist sie monoton fallend. Daher gilt:
[mm]\sum_{k=2}^{N^m} k^{\frac{1}{m} - 1} \leq \int_1^{N^m} f_m(x) ~ \mathrm{d}x \ = \ (N-1) \cdot m[/mm]
Die Ungleichung besteht, weil die linke Seite eine Untersumme des Integrals ist (zur Intervallbreite [mm]\Delta x = 1[/mm]). Jetzt noch auf beiden Seiten 1 addieren und die rechte Seite trivial durch [mm]N \cdot m[/mm] abschätzen.
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