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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 So 21.11.2010 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper mit [mm] 1+1\not=0 [/mm] . Zeigen Sie, dass sich jede Matrix [mm] A\inK^{n,n} [/mm] als Summe einer symmetrischen Matrix (d.h. [mm] M=M^T) [/mm] und einer schiefsymmetrischen Matrix S (d.h.= [mm] s=-S^T) [/mm] schreiben lässt. Warum gilt dies nicht im Fall eines Körpers mit 1+1=0?(Gegenbeispiel anführen!) |
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich schon gelöst, das heißt, ich kann jede Matrix als Summe einer symmetrischen Matrix und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben.
Ich habe nur leider keinen Ansatz für den zweiten Teil der Aufgabe. Meine Versuche liefen bisher immer über den [mm] \IF_{2} [/mm] .
Mal ein Beispiel:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
lässt sich zum Beispiel als Summe von
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} [/mm]
+
[mm] \begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
schreiben. Ich gehe davon aus, das es Matrizen gibt, die sich als Summe schreiben lassen und das es Matrizen gibt, die sich nicht als Summe schreiben lassen.
Oder liege ich hier schon völlig falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo jaktens,
> Ich habe nur leider keinen Ansatz für den zweiten Teil der
> Aufgabe. Meine Versuche liefen bisher immer über den
> [mm]\IF_{2}[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mal ein Beispiel:
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
Diese Matrix ist ja bereits symmetrisch (wegen $-1=1$) und daher nicht als Gegenbeispiel geeignet. Ich würde mal eine nicht-symmetrische Matrix testen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 21.11.2010 | | Autor: | jaktens |
Hm...deine Bemerkung, das -1=1 ist, hat mich vom [mm] \IF_{2} [/mm] weggebracht. Ich brauche, zur Darstellung einer schiefsymmetrischen Matrix, ein negatives Element.
Der Körper ist in der Aufgabenstellung ja auch nicht festgelegt.
Folgende Matrix A:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
In dem ersten Aufgabenteil habe ich nachgewiesen:
[mm] S=\bruch{1}{2}*(A+A^T) [/mm] ist symmetrisch
[mm] U=\bruch{1}{2}*(A-A^T) [/mm] ist schiefsymmetrisch
[mm] S=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] U=\begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
Und S+U liefert mir dann
[mm] \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
Somit hätte ich dann eine Matrix, die sich darstellen lässt und eine, die sich nicht darstellen lässt.
Danke für die schnelle ANtwort und deinie Hilfe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo jaktens,
bitte stelle Nachfragen als "Frage" und nicht als "Mitteilung", damit sie nicht übersehen werden.
> Hm...deine Bemerkung, das -1=1 ist, hat mich vom [mm]\IF_{2}[/mm]
> weggebracht.
Warum?
Der Körper [mm] $\IF_2$ [/mm] war schon richtig.
-1 bedeutet doch nichts anderes als das inverse Element der Addition von 1, und das ist 1 (selbst), denn
1 + 1 = 0
> Ich brauche, zur Darstellung einer
> schiefsymmetrischen Matrix, ein negatives Element.
> Der Körper ist in der Aufgabenstellung ja auch nicht
> festgelegt.
In jedem Körper der Charakterstik zwei bzw. mit 1+1=0 ist aber $-1=1$.
> Folgende Matrix A:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> In dem ersten Aufgabenteil habe ich nachgewiesen:
>
> [mm]S=\bruch{1}{2}*(A+A^T)[/mm] ist symmetrisch
> [mm]U=\bruch{1}{2}*(A-A^T)[/mm] ist schiefsymmetrisch
Diese Formeln kannst du aber in [mm] $\IF_2$ [/mm] (und in jedem Körper mit 1+1=0) aber nicht anwenden, da $2=0$.
> [mm]S=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
Die ist aber nicht symmetrisch!? (Ist aber wahrscheinlich Tipp-/Kopierfehler  )
> [mm]U=\begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Und S+U liefert mir dann
> [mm]\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Somit hätte ich dann eine Matrix, die sich darstellen
> lässt und eine, die sich nicht darstellen lässt.
Ich würde mal eine möglichst einfache nicht-symmetrische Matrix über [mm] $\IF_2$ [/mm] hernehmen, z.B.
[mm]A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
Wenn es eine symmetrische und antisymmetrische Matrix gibt, dann müssen sie so aussehen:
[mm]A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & a & 0 \\
a & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0 & -b & 0 \\
b & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm] mit [mm] $a,b\in\IF^2$
[/mm]
Jetzt lies mal die beiden interessanten Gleichungen aus dieser Matrizengleichung ab und leite einen Widerspruch daraus ab.
Viele Grüße,
Marc
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