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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Fr 18.09.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich habe ein paar Fragen:
1. Ich habe gelernt, dass der Limes (sofern er existiert), linear ist. Also seien [mm] (a_n)_n [/mm] und [mm] (b_n)_n [/mm] reele Zahlenfolgen mit limes a bzw. b, dann ist [mm] lim(a_n+b_n)=a+b. [/mm] Das stimmt doch, oder? Bei einer Aufgabe dazu hat mein Gruppenleiter angemerkt: lim [mm] \summe_{k=0}^{n} a_n \not= \summe_{k=0}^{n} [/mm] lim [mm] a_n [/mm] (n [mm] \to \infty). [/mm] Weshalb ist das so?
2. In einem Buch habe ich folgendes gelesen und kann es mir leider nicht erklären: "Die Gleichung [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] ist im Allgemeinen sinnlos und falsch." Weshalb ist das so? Hat es vielleicht etwas damit zu tun, dass es sich um unendliche Summen handelt?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe ein paar Fragen:
> 1. Ich habe gelernt, dass der Limes (sofern er existiert),
> linear ist. Also seien [mm](a_n)_n[/mm] und [mm](b_n)_n[/mm] reele
> Zahlenfolgen mit limes a bzw. b, dann ist [mm]lim(a_n+b_n)=a+b.[/mm]
> Das stimmt doch, oder?
Stimmt
> Bei einer Aufgabe dazu hat mein
> Gruppenleiter angemerkt: lim [mm]\summe_{k=0}^{n} a_n \not= \summe_{k=0}^{n}[/mm]
> lim [mm]a_n[/mm] (n [mm]\to \infty).[/mm] Weshalb ist das so?
So wie es da steht , ist es völlig sinnlos. Schreib genau auf, was dieser Gruppenleiter geschrieben hat
>
> 2. In einem Buch habe ich folgendes gelesen und kann es mir
> leider nicht erklären: "Die Gleichung
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (a_n[/mm] + [mm]b_n)[/mm] ist im Allgemeinen
> sinnlos und falsch." Weshalb ist das so? Hat es vielleicht
> etwas damit zu tun, dass es sich um unendliche Summen
> handelt?
Genau ! Nimm mal [mm] a_n [/mm] = n und [mm] b_n [/mm] = [mm] -a_n [/mm] =-n
FRED
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> Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
> moerni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 18.09.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
danke erstmal für die schnelle Antwort.
> > Bei einer Aufgabe dazu hat mein
> > Gruppenleiter angemerkt: lim [mm]\summe_{k=0}^{n} a_n \not= \summe_{k=0}^{n}[/mm]
> > lim [mm]a_n[/mm] (n [mm]\to \infty).[/mm] Weshalb ist das so?
>
> So wie es da steht , ist es völlig sinnlos. Schreib genau
> auf, was dieser Gruppenleiter geschrieben hat
>
Die Aufgabe war folgende: zeige, dass [mm] a_n= [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n} )^n [/mm] den Grenzwert [mm] e^{-1} [/mm] besitzt, wobei [mm] e^{-1} [/mm] über die exp-Reihe definiert ist. Mein Ansatz war über die binom. Formel:
(1- [mm] \bruch{1}{n} )^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} (-1)^k (\bruch{1}{n})^k [/mm] = ... = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{(-1)^k}{k!}* \bruch{n(n-1)*...*(n-k+1)}{n*...*n})
[/mm]
dann habe ich argumentiert: lim [mm] \bruch{n(n-1)*...*(n-k+1)}{n*...*n}=1 [/mm] (n [mm] \to \infty) [/mm] (Das Produkt n*...*n hat übrigens k Faktoren) und somit ist der Limes von dem ganzen obigen Ausdruck gleich [mm] lim(\summe_{k=0}^{n} (\bruch{(-1)^k}{k!})=e^{-1}. [/mm] An dieser Stelle steht das oben genannte Kommentar.
>
> >
> > 2. In einem Buch habe ich folgendes gelesen und kann es mir
> > leider nicht erklären: "Die Gleichung
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (a_n[/mm] + [mm]b_n)[/mm] ist im Allgemeinen
> > sinnlos und falsch." Weshalb ist das so? Hat es vielleicht
> > etwas damit zu tun, dass es sich um unendliche Summen
> > handelt?
>
> Genau ! Nimm mal [mm]a_n[/mm] = n und [mm]b_n[/mm] = [mm]-a_n[/mm] =-n
oje, das hilft mir leider nicht weiter.... da hab ich + [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] = summe(n-n)=0????
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
moerni
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Hallo,
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \frac{1}{i} [/mm] = [mm] \infty$$
[/mm]
[mm] $$\summe_{i=1}^{n} \limes_{i\rightarrow\infty} \frac{1}{i} [/mm] = 0$$
Also kannst du den Limes der Summe nicht in die Folge reinziehen.
$$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] )$$
mit [mm] $b_n=-a_n$ [/mm] folgt doch
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] ) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 0 =0+0+0+....=0$
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > sinnlos und falsch." Weshalb ist das so? Hat es vielleicht
> > > etwas damit zu tun, dass es sich um unendliche Summen
> > > handelt?
> >
> > Genau ! Nimm mal [mm]a_n[/mm] = n und [mm]b_n[/mm] = [mm]-a_n[/mm] =-n
>
> oje, das hilft mir leider nicht weiter.... da hab ich +
> [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] = summe(n-n)=0????
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> Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
..... eine Antwort ist also dann nicht hilfreich, wenn Du sie nicht verstehst ? ....
FRED
> moerni
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