Summen- und Kuben-Bedingung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Di 08.08.2006 | | Autor: | mechanix |
| Aufgabe | Es sind zwei positive Zahlen mit folgender Eigenschaft zu ermitteln:
1) ihre summe soll gleich a,
2) die Summe ihrer Kuben soll so klein wie möglich sein
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Hallo,
ich habe heute mal in ein paar Extremwertaufgaben gerechnet und bin dabei an obiger Aufgabe hängen geblieben.
Ich habe das wie folgt angefangen:
[mm]ZF: G(x,y)=x^3+y^3 [/mm]
[mm]NB: x+y=a[/mm]
[mm]G(x)=x^3+(a-x)^3[/mm]
[mm]G'(x)=3*x^2-3*(a-x)^2[/mm]
[mm]0=x^2-(a^2-2ax+x^2)[/mm]
[mm]x_{1/2}=0,5+/-\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{a^2}{2}}[/mm]
Ist das bis dahin richtig?
Wie könnte es weiter gehen?
vielen dank im vorraus
gruß
mechanix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Di 08.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Es sind zwei positive Zahlen mit folgender Eigenschaft zu
> ermitteln:
> 1) ihre summe soll gleich a,
> 2) die Summe ihrer Kuben soll so klein wie möglich sein
>
> Hallo,
>
> ich habe heute mal in ein paar Extremwertaufgaben gerechnet
> und bin dabei an obiger Aufgabe hängen geblieben.
>
> Ich habe das wie folgt angefangen:
>
>
> [mm]ZF: G(x,y)=x^3+y^3 [/mm]
> [mm]NB: x+y=a[/mm]
> [mm]G(x)=x^3+(a-x)^3[/mm]
> [mm]G'(x)=3*x^2-3*(a-x)^2[/mm]
> [mm]0=x^2-(a^2-2ax+x^2)[/mm]
Hallo mechanix,
Bis hierhin ist alles soweit korrekt.
> [mm]x_{1/2}=0,5+/-\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{a^2}{2}}[/mm]
Hier hast du leider einen Fehler gemacht: Wenn du die Minusklammerauflöst, erhältat du:
[mm] 0=x^2-(a^2-2ax+x^2) \gdw [/mm] 0 = x²-a²+2ax-x² [mm] \gdw [/mm] -a²+2ax = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{a²}{2a} [/mm] = [mm] \bruch{a}{2}.
[/mm]
>
> Ist das bis dahin richtig?
> Wie könnte es weiter gehen?
>
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass das ein Tiefpunkt ist...
> vielen dank im vorraus
>
> gruß
> mechanix
>
Gruss
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Di 08.08.2006 | | Autor: | mechanix |
Hallo,
danke, du hast mir sehr geholfen!
> > [mm]x_{1/2}=0,5+/-\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{a^2}{2}}[/mm]
>
> Hier hast du leider einen Fehler gemacht: Wenn du die
> Minusklammerauflöst, erhältat du:
> [mm]0=x^2-(a^2-2ax+x^2) \gdw[/mm] 0 = x²-a²+2ax-x² [mm]\gdw[/mm] -a²+2ax = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{a²}{2a}[/mm] = [mm]\bruch{a}{2}.[/mm]
Mist... Minusklammern sollte ich langsam erkennen...
> >
> > Ist das bis dahin richtig?
> > Wie könnte es weiter gehen?
> >
>
> Jetzt musst du nur noch zeigen, dass das ein Tiefpunkt
> ist...
Das ist dann, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle positiv ist, soweit ich weiß. Und das ist hier der Fall.
gruß
mechanix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Mi 09.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> danke, du hast mir sehr geholfen!
>
Super
> > > [mm]x_{1/2}=0,5+/-\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{a^2}{2}}[/mm]
> >
> > Hier hast du leider einen Fehler gemacht: Wenn du die
> > Minusklammerauflöst, erhältat du:
> > [mm]0=x^2-(a^2-2ax+x^2) \gdw[/mm] 0 = x²-a²+2ax-x² [mm]\gdw[/mm] -a²+2ax
> = 0
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{a²}{2a}[/mm] = [mm]\bruch{a}{2}.[/mm]
>
> Mist... Minusklammern sollte ich langsam erkennen...
>
> > >
> > > Ist das bis dahin richtig?
> > > Wie könnte es weiter gehen?
> > >
> >
> > Jetzt musst du nur noch zeigen, dass das ein Tiefpunkt
> > ist...
>
> Das ist dann, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle
> positiv ist, soweit ich weiß. Und das ist hier der Fall.
Korrekt
>
> gruß
> mechanix
Gruss
Marius
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