Summe von Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Es seien V ein K-Vektorraum und [mm] W_{1},...,W_{r} [/mm] Untervektorräume von V. Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) V = [mm] W_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus W_{r}
[/mm]
(ii) Jedes Element v [mm] \in [/mm] V lässt sich eindeutig als v = [mm] w_{1}+...+w_{r} [/mm] mit [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] für i = 1,...,r darstellen. |
Ich bin leider mit dieser Aufgabe etwas überfordert...
|
|
| |
|
> Es seien V ein K-Vektorraum und [mm]W_{1},...,W_{r}[/mm]
> Untervektorräume von V. Man zeige die Äquivalenz der
> folgenden Aussagen:
>
> (i) V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{r}[/mm]
>
> (ii) Jedes Element v [mm]\in[/mm] V lässt sich eindeutig als v =
> [mm]w_{1}+...+w_{r}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i}[/mm] für i = 1,...,r
> darstellen.
> Ich bin leider mit dieser Aufgabe etwas überfordert...
Hallo,
damit kann man so wenig anfangen.
Wie weit bist Du gekommen, wo liegt Dein Problem?
Was bedeutet "direkte Summe"?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:56 Do 11.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
So, kann man das als Beweis gelten lassen?
i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii)
Da [mm] W_{1} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes W_{r} [/mm] direkte Summe, folgt [mm] W_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap W_{r} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Sei v = [mm] w_{1} [/mm] + [mm] w_{2} \Rightarrow w_{1} [/mm] + [mm] w_{2} [/mm] = v = [mm] w_{1}' [/mm] + [mm] w_{2}' [/mm] mit [mm] w_{1},w_{1}' \in W_{1} [/mm] und [mm] w_{2},w_{2}' \in W_{2}. [/mm] Dann [mm] w_{1} [/mm] - [mm] w_{1}' [/mm] = [mm] w_{2} [/mm] - [mm] w_{2}' \in W_{1} \cap W_{2}. [/mm] Da wegen direkter Summe gilt [mm] W_{1} \cap W_{2} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] folgt [mm] w_{1} [/mm] = [mm] w_{1}' [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] = [mm] w_{2}' [/mm] wohldefiniert.
ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)
Sei r = 2, dann v = [mm] w_{1} [/mm] + [mm] w_{2} \Rightarrow w_{1} [/mm] - [mm] w_{2} [/mm] = [mm] \vec{0} \Rightarrow w_{1} [/mm] = [mm] w_{2}, [/mm] aber [mm] w_{1} \in W_{1} [/mm] und [mm] w_{2} \in W_{2} \Rightarrow W_{1} \cap W_{2} [/mm] = [mm] \emptyset \Rightarrow W_{1} [/mm] ist Komplement von [mm] W_{2} [/mm] und umgekehrt, alsoist auch [mm] W_{2} \oplus W_{2} [/mm] = V
|
|
|
| |
|
> So, kann man das als Beweis gelten lassen?
Hallo,
einen Grund gibt es sofort, warum man das nicht kann: Du erwähnst es zwar nicht weiter, aber es sieht stark danach aus, daß Du die Aussage jetzt erstmal für ein spezielles r zeigen möchtest, nämlich für r=2.
Ich finde es gut, für die eigene Klarheit erstmal so anzufangen, aber es beweist natürlich nicht vollständig die Aussage, die Du zeigen sollst.
>
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii)
> Da [mm]W_{1} \otimes[/mm] ... [mm]\otimes W_{r}[/mm] direkte Summe, folgt
> [mm]W_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap W_{r}[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
Wirklich? Ich bin sehr skeptisch bzgl. der leeren Menge: ist nicht in jedem VR die 0 enthalten?
Sei [mm] v\in [/mm] V
Nun gebe es zwei Darstellungen von v.
> Sei v = [mm]w_{1}[/mm] + [mm]w_{2} mit w_1\in W_1, w_2\in W_2
und sei
>w_{1}[/mm] + [mm]w_{2}[/mm] = v = [mm]w_{1}'[/mm] + [mm]w_{2}'[/mm] mit
> [mm]w_{1},w_{1}' \in W_{1}[/mm] und [mm]w_{2},w_{2}' \in W_{2}
> \Rightarrow
> w_{1}[/mm] + [mm]w_{2}[/mm] = v = [mm]w_{1}'[/mm] + [mm]w_{2}'[/mm]
>Dann
> [mm]w_{1}[/mm] - [mm]w_{1}'[/mm] = [mm]w_{2}[/mm] - [mm]w_{2}' \in W_{1} \cap W_{2}.[/mm]
Warum?
> Da
> wegen direkter Summe gilt [mm]W_{1} \cap W_{2}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> folgt [mm]w_{1}[/mm] = [mm]w_{1}'[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] = [mm]w_{2}'[/mm]
Nö, aus der leeren Menge würde das nicht folgen, als Folgerung aus [mm]W_{1} \cap W_{2}[/mm] [mm] =\{0\} [/mm] hingegen wäre es richtig.
> wohldefiniert.
Schön, daß Du das Wort kennst, aber warum schreibst Du es hier hin. Was willst Du damit sagen?
Aha! Der Matheraumeffekt setzt gerade bei mir ein, daß einem beim Hinschreiben nämlich manches klar wird.
Du wolltest sagen:
"Also ist die Darstellung von v als Summe [mm] w_1+w_2 [/mm] mit [mm] w_1\in W_1, w_2\in W_2 [/mm] eindeutig."
Abgesehen von der Schlappe mit der leeren Menge und kleinen Schwächen ist Dein Gedanke bei dieser Beweisrichtung völlig richtig.
Aber Du brauchst das halt für beliebiges r. Vielleicht ist Induktion eine gute Idee.
>
> ii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> Sei r = 2, dann v = [mm]w_{1}[/mm] + [mm]w_{2} \Rightarrow w_{1}[/mm] - [mm]w_{2}[/mm] [mm] =\vec{0} [/mm]
Diesem Schluß vermag ich überhaupt nicht zu folgen. was soll das?
Ich denke, daß es hilfreich ist, wenn Du erstmal die Voraussetzungen dieser Beweisrichtung hinschreibst.
Gruß v. Angela
[mm] \Rightarrow w_{1}=[/mm] [mm]w_{2},[/mm] aber [mm]w_{1} \in W_{1}[/mm]
> und [mm]w_{2} \in W_{2} \Rightarrow W_{1} \cap W_{2}[/mm] =
> [mm]\emptyset \Rightarrow W_{1}[/mm] ist Komplement von [mm]W_{2}[/mm] und
> umgekehrt, alsoist auch [mm]W_{2} \oplus W_{2}[/mm] = V
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 11.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
[mm] "\Rightarrow" [/mm] ist nun kein Problem mehr.
[mm] "\Leftarrow" [/mm] ist mir wirklich total unklar. Ich weiß nicht, was ich alles aus der Aussage [mm] w_{1} [/mm] + ... + [mm] w_{r} [/mm] = v folgern kann.
|
|
|
| |
|
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] ist mir wirklich total unklar. Ich weiß
> nicht, was ich alles aus der Aussage [mm]w_{1}[/mm] + ... + [mm]w_{r}[/mm] =
> v folgern kann.
Hallo,
ich denke, es krankt ein bißchen daran, daß Du zu ungenau bist.
Ich finde es wirklich hilfreich, wenn man sich erstmal notiert, was zu zeigen ist. (Anders würde ich jdenfalls keinen einzigen Beweis hinbekommen.)
Die Zeit dafür ist gut investiert.
Also:
Zeigen möchtest Du für den Vektorraum V und seine Unterräume [mm] W_i [/mm] die Behauptung
Jedes Element v $ [mm] \in [/mm] $ V lässt sich eindeutig als v = $ [mm] w_{1}+...+w_{r} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $ für i = 1,...,r darstellen
==> V ist die direkte Summe der [mm] W_i
[/mm]
Du mußt also nichts " aus der Aussage " [mm]w_{1}[/mm] + ... + [mm]w_{r}[/mm] = v" folgern, sondern daraus,
daß man jedes Element aus V so schreiben kann - und zwar eindeutig.
Dann schauen wir nochmal auf die zu folgernde Aussage, daß V die direkte Summe der [mm] W_i [/mm] ist.
Das beinhaltet ja zum einen, daß V die Summe der [mm] W_i [/mm] ist, und zum anderen? Jetzt muß ich mal fragen: wie habt Ihr in Eurer Vorlesung eigentlich die direkte Summe von endlich vielen UVRen definiert? Das wäre ja wichtig zu wissen, damit man erfährt, was zu zeigen ist.
Aber fangen wir ruhig schonmal mit dem Punkt an, daß V die Summe der [mm] W_i [/mm] ist.
Was ist hierfür zu zeigen? Was bedeutet "Summe der [mm] W_i"?
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
