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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 16.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hey Leute
hab noch mal eine Frage zu der Berechnung einer Summe:
Also wir sollen die Summe von 1/(n(n+1)(n+2)) berechnen.
Zuerst hab ich mit Partialbruchzerlegung ermittelt
1/(n(n+1)(n+2)) = 1/(2n) - 1/(n+1) + 1/(2(n+2))
was ich nicht verstehe ist das sich für die N-te Partialsumme sich ergibt:
[mm] s_{N}=1/4 [/mm] - 1/2*1/(N+1) + 1/2*1/(N+2)
Daraus folgt für N [mm] \to \infty [/mm]
1/(n(n+1)(n+2)) = 1/4
Wie kommt man auf das [mm] s_{N}??
[/mm]
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Hallo!
Bitte mach dich doch ein bisschen mit dem Formeleditor bekannt, es wäre dann viel leichter, deine Fragen zu lesen - und auch zu beantworten!
Das Geheimnis liegt darin, die Summe in eine Teleskopsumme umzuschreiben:
[mm] $s_N=\summe_{n=1}^N\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^N \left( \bruch{1}{2n} -\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}\right)=\summe_{n=1}^N\left(\bruch{1}{2n}-\bruch{1}{2(n+1)}\right)-\left(\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2(n+2)}\right)$.
[/mm]
Die Summe kann man also auch in der Form [mm] $\summe_{n=1}^{N}a_n-a_{n+1}$ [/mm] schreiben. Dann ergibt sich:
[mm] $s_N=\summe_{n=1}^{N} (a_n-a_{n+1})=\summe_{n=1}^N a_n-\summe_{n=2}^{N+1}a_n=a_1-a_{N+1}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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