Summe von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 28.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Summe von folgenden Reihen für $|x|<1:
[mm] a)$\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}$
[/mm]
[mm] b)$\sum_{n=1}^{\infty}n^{3}x^{n}$
[/mm]
c) [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ [/mm] |
Hallo,
man berechnet diese Summen indem man sie auf Vielfache von bekannten Summenwerten [mm] ($x^{n}$) [/mm] zurückführt. Man kann integrieren, ableiten, falten.
a)$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n}$
[/mm]
Die geometrische Reihe: [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-x}$ $\forall [/mm] |x|<1$
Mit Integration: [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n} [/mm] = x [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n-1}$ [/mm]
integriere das und ein n verschwindet. dann nochmal dasselbe
[mm] $x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$
[/mm]
das gäbe als falsches Ergebnis: [mm] \frac{x^{2}}{(1-x)}
[/mm]
Mit Ableitung:
zweimal die ableitung der geometrischen Reihe: [mm] $((\sum_{n=0}^{\infty}x^{n})')'=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Dann stecke ich fest weil das ähnlichste was ich bekommen kann wenn ich meine Anfangsreihe umforme: [mm] $x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n-2}$ [/mm] ist. Aber das bringt mich nicht weiter!
Mit Faltung:
ich schreibe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n}$ [/mm] als [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^{2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^2 \cdot (\frac{1}{1-x})$
[/mm]
wie komme ich hier weiter?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Berechnen Sie die Summe von folgenden Reihen für $|x|<1:
>
> a)[mm]\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}[/mm]
>
> b)[mm]\sum_{n=1}^{\infty}n^{3}x^{n}[/mm]
>
> c) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}[/mm]
> Hallo,
>
> man berechnet diese Summen indem man sie auf Vielfache von
> bekannten Summenwerten ([mm]x^{n}[/mm]) zurückführt. Man kann
> integrieren, ableiten, falten.
>
> a)[mm] \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n}[/mm]
>
> Die geometrische Reihe: [mm]\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} = \frac{1}{1-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist ein guter Ausgangspunkt!
> [mm]\forall |x|<1[/mm]
>
>
> Mit Integration: [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n} = x \sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n-1}[/mm]
Nee, besser 2mal ableiten:
Mit Ableiten auf beiden Seiten in [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm] ist
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
Und nochmal ableiten ...
[mm]\sum\limits_{n=2}^{\infty}n\cdot{}(n-1)\cdot{}x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}[/mm]
Nun bisschen Rumspielen mit Indexverschiebung, dass du wieder auf [mm]x^n[/mm] kommst und mit den ersten beiden Ableitungen zusammenrechnen ...
Absolut konvergente Reihen kannst du "auseinanderziehen", du musst ja auf [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^2x^n$ [/mm] kommen ...
Das isolieren und alles andere zu der Ableitung in der Form [mm] $\frac{2}{(1-x)^3}$ [/mm] rüberschaffen ...
>
> integriere das und ein n verschwindet. dann nochmal
> dasselbe
>
> [mm]x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}[/mm]
>
> das gäbe als falsches Ergebnis: [mm]\frac{x^{2}}{(1-x)}[/mm]
>
>
>
> Mit Ableitung:
>
> zweimal die ableitung der geometrischen Reihe:
> [mm]$((\sum_{n=0}^{\infty}x^{n})')'=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> Dann stecke ich fest weil das ähnlichste was ich bekommen
> kann wenn ich meine Anfangsreihe umforme:
> [mm]x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n-2}[/mm] ist. Aber das bringt
> mich nicht weiter!
>
> Mit Faltung:
>
> ich schreibe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n}[/mm] als
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n^{2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}[/mm]
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n^2 \cdot (\frac{1}{1-x})[/mm]
>
> wie komme ich hier weiter?
Siehe oben, ich habe dir die ersten beiden Ableitungen beiderseits hingeschrieben...
Für b) brauchst du noch die 3.Ableitung ...
In c) vergleiche mal mit der Taylorreihe von [mm]\ln(1+x)[/mm] ...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mo 28.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
> Rumspielen
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}(n^{2}-n)x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n-2}-\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-2}=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}-x\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{2}{(1-x)^{3}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{\frac{2}{(1-x)^{3}}+\frac{x}{(1-x)^{2}}}{x^{2}}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)^{3}x^{2}}$
[/mm]
stimmt aber nicht...???
> Tipps
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
>
> > Rumspielen
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}(n^{2}-n)x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n-2}-\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-2}=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}-x\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{2}{(1-x)^{3}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{\frac{2}{(1-x)^{3}}+\frac{x}{(1-x)^{2}}}{x^{2}}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)^{3}x^{2}}[/mm]
>
> stimmt aber nicht...???
Nicht ganz, ist aber schon genau die richtige Richtung.
Die Fehler liegen im "Rausziehen" von [mm]x^2[/mm] bzw. [mm]x[/mm]
Es ist doch [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2x^{n-2}=\blue{\frac{1}{x^2}}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2x^n[/mm]
Wegen [mm]x^{n-2}=x^n\cdot{}x^{-2}[/mm] ziehst du doch [mm]x^{-2}[/mm] raus.
Analog bei der anderen Summe ...
Wenn du das mal ausbesserst, kommst du auf die richtige Lösung!
>
> Gruss
>
> kushkush
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ach noch eines:
Bedenke auch, dass die Umformung ja so nur für [mm] $x\neq [/mm] 0$ klappt ...
Das solltest du zumindest erwähnen, wenn du das irgendwie abgeben musst
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> richtig rausziehen
Ok. komme bei a) auf [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{x(x+1)}{(1-x)^{3}}$
[/mm]
bei b) [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^{3}x^{n-3}- \sum_{n=0}^{\infty}3n^{2}x^{n-3} [/mm] + [mm] \sum_{n=0}^{\infty}2nx^{n-3}=\frac{6}{(1-x)^{4}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}n^{3}x^{n}= \frac{x^{3}+4x^{2}+x}{(x-1)^{4}}$
[/mm]
c) mit Integration geht das doch auch? : [mm] $x^{-1}\sum_{n=1}^{infinity}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}$ [/mm]
also integriert:
[mm] $x^{-1}\sum_{n=1}^{\infinity}\frac{x^{n}}{n}=-log(1-x)+C$
[/mm]
aber dann habe ich noch dieses [mm] $x^{-1}$ [/mm] vor der sUmme....??
Du schreibst immer den höchst möglichen Beginn-Index hin bei Summen, wieso???
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:48 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> daumenhoch
> daumenhoch
> Indexverschiebung
Ok.
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
