Summe von 4 Quadraten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 23.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $a\in\N$ [/mm] beliebig. Man zeige:
[mm] $\exists\,n\in\IN_{0}:a=8\cdot 4^n\quad\Longleftrightarrow\quad\nexists\,x,y,z,u\in\IN:x^2+y^2+z^2+u^2=a$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich weiß zwar, dass ich den Beweis über Induktion zeigen muss, komme aber trotzdem nicht weiter. Wäre toll wenn mir jemand ein wenig helfen könnte oder eine Quelle kennt, in der der Beweis behandelt wird.
Ich danke euch
Gruß
Denny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mi 24.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Denny
Mit der richtigen Idee ist die Sache ziemlich einfach. Betrachte die Gleichung Modulo 8.
Dann ist a=0 mod 8.
Modulo 8 sind die alle Quadrate entweder 0,1,4. Daraus kann man schliessen, dass keine der Zahlen x,y,z,u ungerade sein kann.
Daher sind x,y,z,u alle gerade, und man kann die Gleichung durch 4 dividieren.
Aus der Lösung für ein a mit n folgt daher die Lösung für ein a mit n-1. Das kann man iterieren bis n=1 d.h. a=8 und dann nochmals(!) d.h. a=2 und dort ist es trivial.
Der Beweis zeigt, dass diese Zahlen nur die Summe von 2 positiven Quadraten sein können, da [mm] $2=1^2+1^2$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
danke zunächst einmal für die Antwort. Mir ist soweit alles klar bis auf eines:
Wieso kann man schließen, dass keine der Zahlen $x,y,z,u$ ungerade sein können?
Danke nochmals
Gruß
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hat sich erledigt. Bin selbst darauf gekommen.
Danke trotzdem nocheinmal.
Ciao
Denny
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