Summe v. Quadraten: -1 Quadrat < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 Sa 22.12.2012 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | [mm] a_{n}:=4 n^{2} +1 [/mm]
Zeigen Sie, dass -1 ein Quadrat modulo jedem Primteiler von [mm] a_{n} [/mm] ist. |
Hallo!
Wir hatten da so einen Satz darüber, wann eine Zahl Summe von Quadraten ist, nämlich genau dann, wenn jeder ungerader Primteiler, der ungerade oft auftritt kongruent zu 1 mod 4 ist. Nun hab ich mir gedacht, dass ich einfach zeige, dass es nur solche Primteiler gibt, also ausschließe, dass 2 ein Primteiler ist (was sowieso klar ist) und dass jeder Primteiler ungerade oft auftritt. Aber leider scheint dies nicht einmal zu stimmen. Hab mir mit einem Computeralgebrasystem die ersten 200 Beispiele angeguckt. Die meisten der [mm] a_{n} [/mm] sind sogar quadratfrei, aber ab und zu tritt ein Primfaktor auch doppelt auf. Also muss man wohl irgendwie anders zeigen, dass jeder Primfaktor kongruenz zu 1 mod 4 ist (und damit -1 Quadrat). Aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen sollte, wenn ich
[mm] a_{n} [/mm] = a p schreibe und modulo 4 reduziere, weiß ich nur, dass a und p invertierbar sind, also kongruent zu 1 oder 3 mod 4, was ich vorher auch schon gewusst habe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Sa 22.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]a_{n}:=4 n^{2} +1[/mm]
> Zeigen Sie, dass -1 ein Quadrat modulo
> jedem Primteiler von [mm]a_{n}[/mm] ist.
>
> Wir hatten da so einen Satz darüber, wann eine Zahl Summe
> von Quadraten ist, nämlich genau dann, wenn jeder
> ungerader Primteiler, der ungerade oft auftritt kongruent
> zu 1 mod 4 ist. Nun hab ich mir gedacht, dass ich einfach
> zeige, dass es nur solche Primteiler gibt, also
Du machst es dir hier viel zu kompliziert.
-1 ist schon ein Quadrat modulo [mm] $a_n$ [/mm] selber, und du kannst dies explizit hinschreiben, d.h. ein Element [mm] $b_n \in \IZ$ [/mm] angeben mit [mm] $b_n^2 \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a_n}$.
[/mm]
Daraus folgt auch, dass -1 ein Quadrat modulo jedem Teiler von [mm] $a_n$ [/mm] ist, und somit auch modulo eines jeden Primteilers.
> ausschließe, dass 2 ein Primteiler ist (was sowieso klar
> ist) und dass jeder Primteiler ungerade oft auftritt. Aber
> leider scheint dies nicht einmal zu stimmen. Hab mir mit
> einem Computeralgebrasystem die ersten 200 Beispiele
> angeguckt. Die meisten der [mm]a_{n}[/mm] sind sogar quadratfrei,
> aber ab und zu tritt ein Primfaktor auch doppelt auf. Also
> muss man wohl irgendwie anders zeigen, dass jeder
> Primfaktor kongruenz zu 1 mod 4 ist (und damit -1 Quadrat).
> Aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen sollte, wenn ich
> [mm]a_{n}[/mm] = a p schreibe und modulo 4 reduziere, weiß ich
> nur, dass a und p invertierbar sind, also kongruent zu 1
> oder 3 mod 4, was ich vorher auch schon gewusst habe...
Du bekommst das heraus, wenn du direkt zeigst, dass -1 ein Quadrat modulo jedem Primteilers ist, etwa wie oben beschrieben 
LG Felix
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