Summe umformen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Vidane |
| Aufgabe | Let [mm] Q=(Q_0,...,Q_{N-1})^T. [/mm] Then
$$ [mm] \sum_{0 \leq i < j < N} [/mm] log [mm] |Q_i-Q_j| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-1} [/mm] log [mm] |Q_i-Q_{i+j}| [/mm] $$
with the index i+j to be taken modN. |
Guten Tag,
Ich habe in einem Paper diese Umformung gefunden, welche dort nicht bewiesen wurde und ich versuche, sie mir selbst herzuleiten. Leider tue ich mir gerade etwas schwer.
Also erstmal denke ich, dass
[mm] \sum_{0 \leq i < j < N} log|Q_i-Q_j| [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{N-2} \sum_{j=i+1}^{N-1} log|Q_i-Q_j|
[/mm]
Ich hoffe, das stimmt schon mal. Jetzt shifte ich j [mm] \to [/mm] i+j und erhalte hoffentlich
[mm] \sum_{i=0}^{N-2} \sum_{j=1}^{N-1-i} log|Q_i-Q_{i+j}| [/mm] =: M
Ich schaue mir die rechte Seite an, und betrachte, welche Terme mir denn jetzt noch fehlen.
Also habe ich, von der rechten Seite startend
[mm] \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-1} log|Q_i-Q_i+j|= \sum_{i=0}^{N-2} \left( \sum_{j=1}^{N-1-i} log|Q_i-Q_{i+j}| + \sum_{j=N-i}^{N-1} log|Q_i-Q_{i+j}| \right) [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{N-1} log|Q_{N-1}-Q_{N-1+j}| [/mm] = [mm] M+\sum_{j=1}^{N-1} log|Q_{N-1}-Q_{N-1+j}|+\sum_{i=0}^{N-2} \sum_{j=N-i}^{N-1} log|Q_i-Q_{i+j}| [/mm]
Falls ich nun zeigen könnte, dass
[mm] M=\sum_{j=1}^{N-1} log|Q_{N-1}-Q_{N-1+j}|+\sum_{i=0}^{N-2} \sum_{j=N-i}^{N-1} log|Q_i-Q_{i+j}| [/mm]
so hätte ich das Gewünschte bewiesen.
Da komme ich auch nicht weiter und ich weiß auch nicht, wie sinnvoll mein Ansatz ist, ich wollte ihn euch aber nicht vorenthalten.
Wäre über einen Tipp dankbar, sei es ein anderer Ansatz oder sei es ein Hinweis auf einen Fehler in meinem Beweis bzw. wie es weitergeht.
Vielen Dank und beste Grüße,
Vidane
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo Vidane!
> Falls ich nun zeigen könnte, dass
> [mm]M=\sum_{j=1}^{N-1} log|Q_{N-1}-Q_{N-1+j}|+\sum_{i=0}^{N-2} \sum_{j=N-i}^{N-1} log|Q_i-Q_{i+j}|[/mm]
> so hätte ich das Gewünschte bewiesen.
Du kannst/musst die Indices doch noch mod N nehmen.
Außerdem würde ich denken, dass es noch viel einfacher beweisbar ist.
Denn die rechte Seite ist doch einfach
[mm] $\frac12 \sum_{0\le i\not=j
Mit [mm] $0\le i\not=j [/mm] <N$ meine ich übrigens ausführlich [mm] $0\le [/mm] i,j <N\ [mm] \wedge\ i\not=j$
[/mm]
Viele Grüße
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Vidane |
> Hallo Vidane!
>
> > Falls ich nun zeigen könnte, dass
> > [mm]M=\sum_{j=1}^{N-1} log|Q_{N-1}-Q_{N-1+j}|+\sum_{i=0}^{N-2} \sum_{j=N-i}^{N-1} log|Q_i-Q_{i+j}|[/mm]
> > so hätte ich das Gewünschte bewiesen.
>
> Du kannst/musst die Indices doch noch mod N nehmen.
Ja, stimmt, hast du recht, so würde bspw. [mm] Q_{N-1+j} [/mm] überhaupt keinen Sinn machen.
>
> Außerdem würde ich denken, dass es noch viel einfacher
> beweisbar ist.
> Denn die rechte Seite ist doch einfach
> [mm]\frac12 \sum_{0\le i\not=j
> Summation enthält jeden Summanden der linken Seite zwei
> Mal.
Super, vielen Dank, so einen Ansatz habe ich mir gewünscht. Mir ist nur noch nicht komplett klar, weshalb
[mm] \frac{1}{2} \sum_{0 \leq i \neq j < N} \log|Q_i-Q_j|=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-1} \log|Q_i-Q_{i+j}|
[/mm]
so einfach folgt. Könntest du mir das bitte noch kurz erklären?
Vielen Dank.
>
> Mit [mm]0\le i\not=j
>
>
> Viele Grüße
> Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo Vidane!
> > Außerdem würde ich denken, dass es noch viel einfacher
> > beweisbar ist.
> > Denn die rechte Seite ist doch einfach
> > [mm]\frac12 \sum_{0\le i\not=j
> > Summation enthält jeden Summanden der linken Seite zwei
> > Mal.
>
> Super, vielen Dank, so einen Ansatz habe ich mir
> gewünscht. Mir ist nur noch nicht komplett klar, weshalb
>
> [mm]\frac{1}{2} \sum_{0 \leq i \neq j < N} \log|Q_i-Q_j|=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-1} \log|Q_i-Q_{i+j}|[/mm]
>
> so einfach folgt. Könntest du mir das bitte noch kurz
> erklären?
So einfach folgt das natürlich nicht, das ist eben der interessante Teil 
Sorry, ich muss jetzt leider AFK, mache heute Nacht weiter!
Viele Grüße
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Vidane |
Ach, gut, dachte schon, ich stehe jetzt auf dem Schlauch und sehe das offensichtliche nicht. Dann überlege ich an der Stelle mal weiter, danke für den Ansatz.
Okay, alles klar :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Do 13.08.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo Vidane,
> so einfach folgt. Könntest du mir das bitte noch kurz
> erklären?
Ich hatte mir das so vorgestellt:
[mm] $\sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-1} \log|Q_i-Q_{i+j}|$
[/mm]
[mm] $=\sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-i-1} \log|Q_i-Q_{i+j}|+\sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=N-i}^{N-1} \log|Q_i-Q_{i+j}|$
[/mm]
In der ersten Summation hat mod N keine Auswirkungen auf i+j, da i+j<N. D.h., i+j sind alle Indices zwischen i und N.
In der zweiten Summation ist [mm] $i+j\ge [/mm] N$, aber ich mache zunächst eine (ausführliche) Indexverschiebung:
[mm] $=\sum_{0\le i
[mm] $=\sum_{0\le i
Den zweiten Index mod N zu betrachten ist jetzt ganz einfach:
[mm] $=\sum_{0\le i
Wenn man in der zweiten Summation von den leeren Summationen (=0) absieht, durchlaufen die beiden Summen alle Kombinationen (i,j) mit [mm] $0\le [/mm] j<i<N$:
[mm] $=\sum_{0\le i
Vertausche in der zweiten Summation i und j:
[mm] $=\sum_{0\le i
Es gilt [mm] $|Q_j-Q_{i}|=|Q_i-Q_{j}|$:
[/mm]
[mm] $=2\cdot\sum_{0\le i
Das müsste es gewesen sein.
Viele Grüße
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Do 13.08.2015 | | Autor: | Vidane |
> Hallo Vidane,
>
>...
>
> Das müsste es gewesen sein.
>
> Viele Grüße
> Marc
Wow, super, vielen Dank :) Ging ja dann recht gut durch.
Mit dem mod N anwenden war mir in der Summe noch bisschen fremd zunächst, aber jetzt ist alles klar.
Viele Grüße.
|
|
|
|
