Summe u.Schnitt von Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 10.11.2011 | | Autor: | Willow89 |
| Aufgabe | Es seien U1,U2,U3 Unterräume des Vektorraums V.
a)Zeigen Sie:
U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 [mm] \Rightarrow [/mm] (U1+U2) [mm] \cap [/mm] U3 = U1+ [mm] (U2\cap [/mm] U3). |
Guten Abend zusammen.
Ich hab in der Uni eine Aufgabe, die mir noch etwas Kopfzerbrechen bereitet...
Mein Ansatz ist folgender:
Es gelte U1 [mm] \subseteq [/mm] U2.
Dann sei [mm] x\varepsilon [/mm] (U1+U2) [mm] \cap [/mm] U3. Dann gilt x [mm] \varepsilon [/mm] (U1+U2) und x [mm] \varepsilon [/mm] U3. Da x [mm] \varepsilon [/mm] (U1+U2) , folgt x=u1+u2 mit [mm] u1\varepsilon [/mm] U1 und [mm] u2\varepsilon [/mm] U2 und [mm] x\varepsilon [/mm] U3....
An dieser Stelle komme ich nicht weiter!
jetzt müsste ich ja irgendwann einfließen lassen, dass U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 und zeigen dass x dann auch [mm] \varepsilon [/mm] U1+ [mm] (U2\cap [/mm] U3).
Mir ist noch nicht ganz klar, wie ich U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 einfließen lassen soll?
Könnte ich bei
"x=u1+u2 mit [mm] u1\varepsilon [/mm] U1 und [mm] u2\varepsilon [/mm] U2" sagen, dass u1 [mm] \varepsilon [/mm] U3 ,da ja U1 [mm] \subseteq [/mm] U2
Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Tipp für mich hat, wie ich bei dieser Aufgabe weiter machen soll 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 10.11.2011 | | Autor: | hippias |
Die Behauptung
> U1 [mm]\subseteq[/mm] U2 [mm]\Rightarrow[/mm] (U1+U2) [mm]\cap[/mm] U3 = U1+ [mm](U2\cap[/mm] U3).
ist falsch. Richtig ist :U1 [mm]\subseteq[/mm] U3 [mm]\Rightarrow[/mm] (U1+U2) [mm]\cap[/mm] U3 = U1+
[mm](U2\cap[/mm] U3).
Sonst ist Dein Ansatz gut und wird unter diesen veraenderten Voraussetzungen sicher zum Erfolg fuehren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Do 10.11.2011 | | Autor: | Willow89 |
Oh, tut mir Leid. Das war nur ein Tippfehler...
Bin auch beim Ansatz vom Richtigen ausgegangen und komme trotzdem nicht weiter!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 10.11.2011 | | Autor: | Willow89 |
> Es seien U1,U2,U3 Unterräume des Vektorraums V.
> a)Zeigen Sie:
> U1 [mm]\subseteq[/mm] U3 [mm]\Rightarrow[/mm] (U1+U2) [mm]\cap[/mm] U3 = U1+
> [mm](U2\cap[/mm] U3).
Hier jetzt meine Frage bzw. Ansatz noch einmal in verbesserter Version:
>
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> Es gelte U1 [mm]\subseteq[/mm] U3.
> Dann sei [mm]x\varepsilon[/mm] (U1+U2) [mm]\cap[/mm] U3. Dann gilt x
> [mm]\varepsilon[/mm] (U1+U2) und x [mm]\varepsilon[/mm] U3. Da x [mm]\varepsilon[/mm]
> (U1+U2) , folgt x=u1+u2 mit [mm]u1\varepsilon[/mm] U1 und
> [mm]u2\varepsilon[/mm] U2 und [mm]x\varepsilon[/mm] U3....
>
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter!
>
> jetzt müsste ich ja irgendwann einfließen lassen, dass U1
> [mm]\subseteq[/mm] U3 und zeigen dass x dann auch [mm]\varepsilon[/mm] U1+
> [mm](U2\cap[/mm] U3).
> Mir ist noch nicht ganz klar, wie ich U1 [mm]\subseteq[/mm] U3
> einfließen lassen soll?
> Könnte ich bei
> "x=u1+u2 mit [mm]u1\varepsilon[/mm] U1 und [mm]u2\varepsilon[/mm] U2" sagen,
> dass u1 [mm]\varepsilon[/mm] U3 ,da ja U1 [mm]\subseteq[/mm] U3
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Tipp für mich
> hat, wie ich bei dieser Aufgabe weiter machen soll
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Fr 11.11.2011 | | Autor: | hippias |
> > Es seien U1,U2,U3 Unterräume des Vektorraums V.
> > a)Zeigen Sie:
> > U1 [mm]\subseteq[/mm] U3 [mm]\Rightarrow[/mm] (U1+U2) [mm]\cap[/mm] U3 = U1+
> > [mm](U2\cap[/mm] U3).
>
> Hier jetzt meine Frage bzw. Ansatz noch einmal in
> verbesserter Version:
> >
> > Mein Ansatz ist folgender:
> >
> > Es gelte U1 [mm]\subseteq[/mm] U3.
> > Dann sei [mm]x\varepsilon[/mm] (U1+U2) [mm]\cap[/mm] U3. Dann gilt x
> > [mm]\varepsilon[/mm] (U1+U2) und x [mm]\varepsilon[/mm] U3. Da x [mm]\varepsilon[/mm]
> > (U1+U2) , folgt x=u1+u2 mit [mm]u1\varepsilon[/mm] U1 und
> > [mm]u2\varepsilon[/mm] U2 und [mm]x\varepsilon[/mm] U3....
> >
> > An dieser Stelle komme ich nicht weiter!
> >
> > jetzt müsste ich ja irgendwann einfließen lassen, dass U1
> > [mm]\subseteq[/mm] U3 und zeigen dass x dann auch [mm]\varepsilon[/mm] U1+
> > [mm](U2\cap[/mm] U3).
> > Mir ist noch nicht ganz klar, wie ich U1 [mm]\subseteq[/mm] U3
> > einfließen lassen soll?
> > Könnte ich bei
> > "x=u1+u2 mit [mm]u1\varepsilon[/mm] U1 und [mm]u2\varepsilon[/mm] U2"
> sagen,
> > dass u1 [mm]\varepsilon[/mm] U3 ,da ja U1 [mm]\subseteq[/mm] U3
> >
[mm] $u_{1}\in U_{1}\subseteq U_{3}$ [/mm] und [mm] $x\in U_{3}$, [/mm] also [mm] $u_{2}= x-u_{1}\in [/mm] ...$.
> > Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Tipp für mich
> > hat, wie ich bei dieser Aufgabe weiter machen soll
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Willow89 |
Ahh...
also u2=x+(-u1) [mm] \varepsilon [/mm] U3, da U3 ein Unterraum ist und somit bzgl. der Addition abgeschlossen ist.
Also gilt x=u1+u2 mit u1 [mm] \varepsilon [/mm] U1 [mm] \subseteq [/mm] U3 und u2 [mm] \varepsilon [/mm] U2 [mm] \subseteq [/mm] U3 und x [mm] \varepsilon [/mm] U3.
Es folgt u2 [mm] \varepsilon [/mm] (U2 [mm] \cap [/mm] U3), dann gitl insbesondere x [mm] \varepsilon [/mm] U1+(U2 [mm] \cap [/mm] U3)
??
Kann ich das alles so schlussfolgern?
Aber schon einmal Danke für den Tipp, der hat mich eine ganze Ecke weitergebracht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Willow89,
> also u2=x+(-u1) [mm]\varepsilon[/mm] U3, da U3 ein Unterraum ist
> und somit bzgl. der Addition abgeschlossen ist.
> Also gilt x=u1+u2 mit u1 [mm]\varepsilon[/mm] U1 [mm]\subseteq[/mm] U3 und
> u2 [mm]\varepsilon[/mm] U2 [mm]\subseteq[/mm] U3 und x [mm]\varepsilon[/mm] U3.
> Es folgt u2 [mm]\varepsilon[/mm] (U2 [mm]\cap[/mm] U3), dann gitl
> insbesondere x [mm]\varepsilon[/mm] U1+(U2 [mm]\cap[/mm] U3)
Bis auf die Aussage [mm] $U_2\subseteq U_3$, [/mm] die im Allgemeinen falsch ist, stimmt alles! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Willow89 |
Oh ja das stimmt. Vielen Dank!
Reicht das dann auch so oder müsste man mehr Zwischenschritte machen.
Natürlich mach ich dann auch noch die andere Inklusion...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Reicht das dann auch so oder müsste man mehr
> Zwischenschritte machen.
Der einzige sinnvolle Zwischenschritt, der mir noch einfallen würde, wäre [mm] $x=u_1+u_2\in U_1+(U_2\cap U_3)$ [/mm] am Ende, also das [mm] $=u_1+u_2$ [/mm] einzufügen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Willow89 |
Alles klar.Vielen Dank!!
|
|
|
|
