Summe (n über i) = 2^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 So 14.05.2006 | | Autor: | Mitch |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] $ = $ [mm] 2^n [/mm] $ |
Hey, diese Frage wurde hier bereits vor einigen Tagen gestellt, allerdings stehe ich irgendwie aufm Schlauch und komme beim Induktionsschritt nicht weiter.
wie zeige ich, dass $ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} [/mm] $ = $ [mm] 2^{n+1} [/mm] $ ist?
Ich habe keine Idee, wie ich die Summe umformen kann, damit ich schließlich auf [mm] 2^n [/mm] + [mm] 2^n [/mm] bzw. [mm] 2^{n+1} [/mm] komme.
Kann mir jemand helfen?
Gruß Mitch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 So 14.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mitch
Musst du das durch Induktion beweisen?
sonst ist es einfach die Binomialreihe für [mm] (1+1)^{n}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 So 14.05.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Musst du das durch Induktion beweisen?
> sonst ist es einfach die Binomialreihe für [mm](1+1)^{n}[/mm]
Und selbst wenn er es direkt beweisen soll, der Beweis geht per Induktion genauso wie der von $(x + [mm] y)^n$, [/mm] nur dass man fuer $x$ und $y$ beides mal $1$ einsetzt...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 14.05.2006 | | Autor: | Mitch |
| Aufgabe | | Was bringt mir der binomische Lehrsatz? |
Ich verstehe es immernoch nicht. Was kann ich denn mit dem binomischen Lehrsatz anfangen??
Ist es ein Beweis, wenn ich sage:
[mm] 2^n [/mm] = [mm] (1+1)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n\\i}\cdot{}1^{n-i}\cdot{}1^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] ???
So einfach kann der Beweis doch nicht sein, oder!?!
Ich bitte um Hilfe!
Gruß Mitch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 So 14.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mitch!
Da muss ich Dich leider etwas "enttäuschen"  ... aber genau so einfach ist es!
Bedingung ist natürlich, dass der binomische Lehrsatz als bekannt vorausgesetzt wird und verwendet werden darf.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 14.05.2006 | | Autor: | Mitch |
| Aufgabe | | Wie kann ich es sonst beweisen? |
Erstmal danke für die Antwort(en)
Also ich bin mir nicht ganz sicher, ob der binomischer Lehrsatz verwendet werden darf.
Als Tipp steht in der Aufgabe lediglich:
[mm] {n \choose n} = {n \choose 0} = 1 [/mm] und [mm] {n \choose k} + {n \choose k-1} = {n+1 \choose k} [/mm]
Hat jemand eine Idee, wie ich es mit diesem Tipp beweisen kann?
Gruß Mitch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 14.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mitch!
Dieser Hinweis deutet dann doch darauf hin, dass der Beweis mittels vollständiger Induktion erfolgen soll.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 14.05.2006 | | Autor: | Maths |
und wie mache ich das?
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Das Verfahren eines Induktionsbeweises sollte ja wohl bekannt sein.
Dann kannst du das Additionstheorem für Binomialterme verwenden, steht ja bei euch auf der Angabe und so zwei Summen erreichen, die du bei durch die Induktionsvorraussetzung berechnen kannst. Einmal ist aber glaube ich eine Indexverschiebung notwendig.
Tipp: [mm] $2^n [/mm] + [mm] 2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
Gruß Schlurcher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 14.05.2006 | | Autor: | Maths |
so ich zeig einfach mal meinen ansatz
im prinzip hab ich ja mit induktionen eigentlich keine probleme - aber von binomialkoeffizenten hab ich leider nicht viel ahnung ...
also:
I.Vor.:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}= 2^n
[/mm]
I.beh.:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}= [/mm] 2^(n+1)
I.Bew.:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}=
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n+1 \\ i} \otimes \vektor{n+1 \\ i} [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] ( [mm] \vektor{n \\ i-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ i})=
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i-1} \otimes \vektor{n+1 \\ i} \otimes 2^n [/mm] =
wie mache ich nun weiter?
stimmt das alles überhaupt?
achso das [mm] \otimes [/mm] steht für mal ;)
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Zu zeigen ist ja:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}=2^{n+1}
[/mm]
[mm] 2^{n+1}=22^{n}=2*IV.
[/mm]
Jetzt kannst Du ausmultiplizieren, dann musst Du in der ersten Summe den ersten Summanden und in der zweiten den letzten Summanden abspalten, den Index verschieben und die oben genannte Formel für Binomialkoeffizienten benutzen. Dann müsste es eigentlich hinkommen. Den Beweis habe ich hier im Forum schonmal geführt. Ansonsten schau einfach in einem Buch nach dem bin. Lehrsatz und orientier dich an dem. Der Beweis für dein Problem geht fast analog.
Gruß
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 14.05.2006 | | Autor: | Maths |
kannst du mr mal bitte den link geben, wo du den beweis schon ma gelöst hast?!?
wäre echt toll
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Aaaaaaaaaalso:
Ind. Anf ist klar
[mm] 2^{n+1}=2*2^{n}= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i}=1+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}+
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i}+n=1+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i}+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i-1}+n=1+ \summe_{i=1}^{n} \vektor{n+1 \\ i}+n= \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}
[/mm]
Fertig.
Hoffe, ich hab mich in der Eile nicht vertippt und verrechnet.
Gruß
Alex
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:26 So 14.05.2006 | | Autor: | Mitch |
Also ob deine Lösung richtig ist bezweifel ich irgendwie, denn einige Umformungen sind mir nicht ganz schlüssig. Aber ich habe es jetzt selbst geschafft.
Hier meine Lösung:
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} [/mm] $
$ = [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ 0} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n+1 \\ i} [/mm] $
$ = 1 + 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} \left( \vektor{n \\ i} + \vektor{n \\ i-1} \right) [/mm] $
$ = 1 + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i} [/mm] $
$ = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] $
[mm] 2^n [/mm] + [mm] 2^n
[/mm]
denn:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i+1} [/mm] $
und
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i} [/mm] $
und
$ 1+ [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \vektor{n \\ i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm] $
Ist ja doch nicht so schwer!
Schönen Abend noch,
Gruß Mitch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 16.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:36 So 14.05.2006 | | Autor: | Mitch |
| Aufgabe | | Also ich verstehe es einfach nicht. Kann mir irgendwer den Beweis per vollst. Ind. zeigen?? |
Ich bin ebenfalls so weit wie Maths:
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}= [/mm] $
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] $ ( $ [mm] \vektor{n \\ i-1} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{n \\ i})= [/mm] $
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] $ $ [mm] \vektor{n \\ i-1} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] $ $ [mm] \vektor{n \\ i} [/mm] = $
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] $ $ [mm] \vektor{n \\ i-1} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] $ $ [mm] \vektor{n \\ i} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] = $
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1} [/mm] $ $ [mm] \vektor{n \\ i-1} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] $ $ [mm] \vektor{n \\ i} [/mm] $ + 1
Wobei ich mir bei dem vorletzten Schritt nicht ganz sicher bin.
Anschließend komme ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen?!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 So 14.05.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Jungs, die Lösung steht da oben. :)
Hoffe ich ;)
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