Summe ist keine ganze Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:51 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n>1 dass die Summe
[mm] 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}
[/mm]
keine ganze Zahl ist. |
Hallo zusammen...
Ich habe mir zu dieser Aufgabe mal so meine Gedanken gemacht und würde mich freuen, wenn mal jemand drüberschauen könnte ob ich total ins Kraut schieße...
Beweis per Induktion...
Induktionsanfang: n=2, also [mm] 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\not\in\IZ
[/mm]
Induktionsvorraussetzung: Die Formel sei richtig bis n
Induktionsschritt: Zeige für n+1...
[mm] 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{+1}
[/mm]
Nach Induktionsvorraussetzung ist die Summer der Terme bis einschließlich [mm] \frac{1}{n} [/mm] keine ganze Zahl, also schreibe die gesamte Summe als
[mm] \frac{a}{b}+\frac{1}{n+1} [/mm] mit ggT(a,b)=1.
Jetzt habe ich unterschieden in zwei Fälle...
Fall 1: n+1 ist eine Primzahl, ich definiere also n+1=:p und schreibe die Summe als
[mm] \frac{a}{b}+\frac{1}{p}=\frac{a\cdot p+b}{p}=\frac{a\frac{p}{b}+1}{p}
[/mm]
O.B.d.A. definiere ich den Zähler des letzten Terms als q und erhalte
[mm] \frac{q}{p} [/mm] mit ggT(q,p)=1 da p prim und somit [mm] \frac{q}{p}\not\in\IZ
[/mm]
Das ganze funktioniert leider nicht wenn zufällig q=p, aber ich weiß nicht wie ich das (und ob ich das ausschließen) kann. Und außerdem fehlt mir jede Idee für Fall 2, p ist keine Primzahl.
Ist der Beweis bis hier her über haupt gangbar oder ein totaler Fehlschuss?
Bin über jede Meinung und Tipp dankbar!
Viel Grüße
Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Sa 19.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n>1 dass die Summe
>
> [mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}[/mm]
>
> keine ganze Zahl ist.
> Hallo zusammen...
>
> Ich habe mir zu dieser Aufgabe mal so meine Gedanken
> gemacht und würde mich freuen, wenn mal jemand
> drüberschauen könnte ob ich total ins Kraut schieße...
>
> Beweis per Induktion...
>
> Induktionsanfang: n=2, also
> [mm]1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\not\in\IZ[/mm]
>
> Induktionsvorraussetzung: Die Formel sei richtig bis n
>
> Induktionsschritt: Zeige für n+1...
>
> [mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{+1}[/mm]
>
> Nach Induktionsvorraussetzung ist die Summer der Terme bis
> einschließlich [mm]\frac{1}{n}[/mm] keine ganze Zahl, also schreibe
> die gesamte Summe als
>
> [mm]\frac{a}{b}+\frac{1}{n+1}[/mm] mit ggT(a,b)=1.
>
> Jetzt habe ich unterschieden in zwei Fälle...
>
> Fall 1: n+1 ist eine Primzahl, ich definiere also n+1=:p
> und schreibe die Summe als
>
> [mm]\frac{a}{b}+\frac{1}{p}=\frac{a\cdot p+b}{p}=\frac{a\frac{p}{b}+1}{p}[/mm]
>
> O.B.d.A. definiere ich den Zähler des letzten Terms als q
> und erhalte
>
> [mm]\frac{q}{p}[/mm] mit ggT(q,p)=1 da p prim und somit
> [mm]\frac{q}{p}\not\in\IZ[/mm]
>
> Das ganze funktioniert leider nicht wenn zufällig q=p, aber
> ich weiß nicht wie ich das (und ob ich das ausschließen)
> kann. Und außerdem fehlt mir jede Idee für Fall 2, p ist
> keine Primzahl.
>
> Ist der Beweis bis hier her über haupt gangbar oder ein
> totaler Fehlschuss?
>
> Bin über jede Meinung und Tipp dankbar!
Hallo,
ich glaube nicht, dass es möglich ist, einen Nichtexistenzbeweis induktiv zu führen.
Hier scheint mir ein indirekter Beweis aussichtsreicher.
Die Gegenannahme lautet, dass es eine Zahl k gibt mit 1/2 + 1/3+ 1/4 + ... +1/k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Das Gleichnamigmachen liefert einen Bruch mit dem Hauptnenner k!, und ich vermute, dass die Zählerwerte irgendwelche Reste mod k oder mod k! ergeben, deren Summe eben nicht durch k! teilbar ist.
Viele Grüße
Abakus
>
> Viel Grüße
>
> Kübi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 22.04.2008 | | Autor: | Kuebi |
Hallo zusammen,
ich habe jetzt wirklich lange über die Aufgabe nachgedacht, und finde immer noch keine richtige Argumentation. Wenn ich also mal annehme, es gibt eine ganze Zahl die sich als
[mm] 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}
[/mm]
darstellen lässt. Dann bringe ich die mal auf einen gemeinsamen Nenner:
[mm] \frac{\frac{n!}{1}+\frac{n!}{2}+\frac{n!}{3}+\frac{n!}{4}+...+\frac{n!}{n}}{n!}
[/mm]
Und jetzt hört es bei mir auf. Völlige Blockade! Kann ich jetzt hier weiter machen und zu einem Widerspruch zur Annahme gelangen? Wäre über jeden Tipp dankbar da die Zeit drängt und ich nicht weiß was ich falsch mache!
Grüße an alle,
Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 22.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
>
> ich habe jetzt wirklich lange über die Aufgabe nachgedacht,
> und finde immer noch keine richtige Argumentation. Wenn ich
> also mal annehme, es gibt eine ganze Zahl die sich als
>
> [mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}[/mm]
>
> darstellen lässt. Dann bringe ich die mal auf einen
> gemeinsamen Nenner:
>
> [mm]\frac{\frac{n!}{1}+\frac{n!}{2}+\frac{n!}{3}+\frac{n!}{4}+...+\frac{n!}{n}}{n!}[/mm]
>
> Und jetzt hört es bei mir auf. Völlige Blockade! Kann ich
> jetzt hier weiter machen und zu einem Widerspruch zur
> Annahme gelangen? Wäre über jeden Tipp dankbar da die Zeit
> drängt und ich nicht weiß was ich falsch mache!
>
> Grüße an alle,
>
> Kübi
>
Vielleicht hilft es, die Summanden herauszunehmen, die eine ganze Zahl ergeben?
Es ist ja z.B. 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
Wenn man die übrigbleibenden wieder so kombiniert, bleiben sicher immer wieder Lücken von bisher nicht verwendeten Brüchen??
Viele Grüße
Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 22.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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