Summe irrationaler Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 Do 24.11.2016 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Seien $a, b, c [mm] \in \IR \setminus \IQ$. [/mm] Zeigen Sie:
$(a + b) [mm] \lor [/mm] (b + c) [mm] \lor [/mm] (c + a)$ ist irrational. |
Hallo zusammen,
hier ist mein Beweis durch Widerspruch:
Angenommen $a+b, b+c, c+a [mm] \in \IQ \Rightarrow [/mm] a+b = [mm] \frac{p}{q}, [/mm] b+c = [mm] \frac{r}{s}, [/mm] c+a = [mm] \frac{t}{u}$ [/mm] mit $p,r,t [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q, s, u [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$
[/mm]
$(b+c) - (c+a) = b-c$
Da $a+b, c+a [mm] \in \IQ$ [/mm] angenommen, gilt $b-c [mm] \in \IQ$, [/mm] denn die Summe zweier rationaler Zahlen ist wieder eine rationale Zahl.
Sei $b-c = [mm] \frac{v}{w}$ [/mm] mit $v [mm] \in \IZ, [/mm] w [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$
[/mm]
$b = [mm] \frac{(b+c)+(b-c)}{2} [/mm] = [mm] \frac{\frac{r}{s}+\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r + s*v}{s*w}}{2} [/mm] = [mm] \frac{w*r+s*v}{2*s*w}$
[/mm]
Da $w*r+s*v [mm] \in \IZ, [/mm] 2*s*w [mm] \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r+s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow [/mm] b [mm] \in \IQ$ [/mm] Das ist ein Widerspruch.
Denn nach Voraussetzung gilt $b [mm] \in \IR \setminus \IQ$
[/mm]
$c = [mm] \frac{(b+c)-(b-c)}{2} [/mm] = [mm] \frac{\frac{r}{s}-\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r - s*v}{s*w}}{2} [/mm] = [mm] \frac{w*r-s*v}{2*s*w}$
[/mm]
Da $w*r-s*v [mm] \in \IZ, [/mm] 2*s*w [mm] \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r-s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow [/mm] c [mm] \in \IQ$ [/mm] Das ist ein Widerspruch.
Denn nach Voraussetzung gilt $c [mm] \in \IR \setminus \IQ$
[/mm]
Also muss $b+c$ oder $b-c$ irrational sein.
Da $b-c = (a+b)-(c+a)$, muss $a+b$ oder $c+a$ irrational sein, falls $b+c$ rational ist, denn dann wäre $b-c$ irrational.
q.e.d.
Kann mir bitte jemand meine Fehler im Beweis aufzeigen?
Dankeschön für jede Hilfe.
Liebe Grüße
Asg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Do 24.11.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Do 24.11.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]a, b, c \in \IR \setminus \IQ[/mm]. Zeigen Sie:
> [mm](a + b) \lor (b + c) \lor (c + a)[/mm] ist irrational.
> Hallo zusammen,
>
> hier ist mein Beweis durch Widerspruch:
>
> Angenommen [mm]a+b, b+c, c+a \in \IQ \Rightarrow a+b = \frac{p}{q}, b+c = \frac{r}{s}, c+a = \frac{t}{u}[/mm]
> mit [mm]p,r,t \in \IZ[/mm] und [mm]q, s, u \in \IZ \setminus \{0\}[/mm]
>
> [mm](b+c) - (c+a) = b-c[/mm]
Das stimmt aber nicht ! Es ist
[mm](b+c) - (c+a) = b-a[/mm]
Jetzt haben wir: $a+b, b-a [mm] \in \IQ$. [/mm] Damit auch
$2b=a+b+(b-a) [mm] \in \IQ$, [/mm] also $b [mm] \in \IQ$, [/mm] Wid !
FRED
>
> Da [mm]a+b, c+a \in \IQ[/mm] angenommen, gilt [mm]b-c \in \IQ[/mm], denn die
> Summe zweier rationaler Zahlen ist wieder eine rationale
> Zahl.
>
> Sei [mm]b-c = \frac{v}{w}[/mm] mit [mm]v \in \IZ, w \in \IZ \setminus \{0\}[/mm]
>
> [mm]b = \frac{(b+c)+(b-c)}{2} = \frac{\frac{r}{s}+\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r + s*v}{s*w}}{2} = \frac{w*r+s*v}{2*s*w}[/mm]
>
> Da [mm]w*r+s*v \in \IZ, 2*s*w \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r+s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow b \in \IQ[/mm]
> Das ist ein Widerspruch.
> Denn nach Voraussetzung gilt [mm]b \in \IR \setminus \IQ[/mm]
>
> [mm]c = \frac{(b+c)-(b-c)}{2} = \frac{\frac{r}{s}-\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r - s*v}{s*w}}{2} = \frac{w*r-s*v}{2*s*w}[/mm]
>
> Da [mm]w*r-s*v \in \IZ, 2*s*w \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r-s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow c \in \IQ[/mm]
> Das ist ein Widerspruch.
> Denn nach Voraussetzung gilt [mm]c \in \IR \setminus \IQ[/mm]
>
> Also muss [mm]b+c[/mm] oder [mm]b-c[/mm] irrational sein.
> Da [mm]b-c = (a+b)-(c+a)[/mm], muss [mm]a+b[/mm] oder [mm]c+a[/mm] irrational sein,
> falls [mm]b+c[/mm] rational ist, denn dann wäre [mm]b-c[/mm] irrational.
> q.e.d.
>
> Kann mir bitte jemand meine Fehler im Beweis aufzeigen?
>
> Dankeschön für jede Hilfe.
>
> Liebe Grüße
>
> Asg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Do 01.12.2016 | | Autor: | asg |
Hallo,
Dankeschön für die schnelle Hilfe.
> >
> > [mm](b+c) - (c+a) = b-c[/mm]
>
> Das stimmt aber nicht ! Es ist
>
> [mm](b+c) - (c+a) = b-a[/mm]
>
Ja, da habe ich wohl bei der Eingabe nicht aufgepasst. Ich meinte eigentlich:
[mm](a+b) - (c+a) = b-c[/mm]
Viele Grüße
Asg
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