Summe durch Integral abschätze < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich stellte die Frage in keinem anderen Forum
Im Reellen ist es ja ohneweiteres Möglich eine Summe durch ein Integral abzuschätzen. Nur die Monotonie ist dafür nötig. So kann man [mm] \sum_{n=1} f\left(n\right)[/mm] durch [mm] \int_{1}^{\infty} f\left(x\right) dx[/mm] nach oben/unten abschätzen wenn [mm] f\left(x\right)[/mm] monoton steigend/fallend ist.
Nun hätte ich gerne ein ähnliches Ergebnis im Komplexen. Kann eine komplexe Summe auch durch ein Integral abgeschätzt werden? So etwas wie Monotonie gibt es ja im ungeordneten Körper [mm]\mathbb{C} [/mm] nicht. Und eine Betragsmäßige Abschätzung bringt mir nichts, bzw. wäre zu ungenau in meinem Fall.
Falls jemand etwas derartiges kennt, wäre ich um eine Antwort dankbar.
Mein spezielles Problem sieht wie folgt aus:
Ich habe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{s-2n} - \frac{1}{2n}[/mm] mit [mm] s=-1 + it[/mm] eine komplexe Zahl und würde die Summe gerne durch [mm]\int_{1}^{\infty} \frac{1}{s-2x} - \frac{1}{2x}dx [/mm] abschätzen...geht das?
Mit Dank
Kalandris
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Hallo Kalandris,
es spricht doch nichts dagegen, Real- und Imaginärteil des Summanden einzeln aufzuaddieren!? Ich habe da zufällig was mit Mathematica vorbereitet 
[mm]
\text{Together}\text{/@}\text{ComplexExpand}[(\text{$\#$1}[\frac{1}{-2 n+i t-1}-\frac{1}{2 n}]\&)\text{/@}\{\text{Re},\text{Im}\}][/mm]
[mm]\{\frac{-8 n^2-6 n-t^2-1}{2 n (4 n^2+4 n+t^2+1)},-\frac{t}{4 n^2+4 n+t^2+1}\}[/mm]
Hier sieht man schon, dass der Realteil asymptotisch gegen [mm] $-\frac{1}{n}$ [/mm] geht. Und tatsächlich liefert Summation (erst endlich summiert, dann Grenzübergang, weil der Imaginärteil von Mathematica dann schöner berechnet wird):
[mm]\text{Apart}[\text{Assuming}[\{t,z\}\in \mathbb{R}\land t\neq 0\land z>1,\lim_{z\to \infty } \, (\underset{n=1}{\overset{z}{\sum
}}\text{$\#$1}\&)\text{/@}\{\frac{-8 n^2-6 n-t^2-1}{2 n (4 n^2+4 n+t^2+1)},-\frac{t}{4 n^2+4 n+t^2+1}\}]]
[/mm]
[mm]\{-\infty ,\frac{t}{t^2+1}-\frac{1}{4} \pi \tanh (\frac{\pi t}{2})\}
[/mm]
Natürlich kannst Du auch versuchen, Re und Im des Summanden mit dem Integralkriterium abschätzen. Der Realteil ist streng monoton wachsend und der Imaginärteil fällt für $t<0$, wächst für $t>0$ und ist konstant 0 für $t=0$.
Alles Gute,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 21.11.2005 | | Autor: | kalandris |
Danke für die Antwort! Gute Idee die Reihe in Real- und Imaginärteil einzuteilen!
Kalandris
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