Summe div. Folgen = konverg.? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lassen sich zwei divergente Folgen finden, sodass die Summe dieser Folgen konvergiert? |
Ich habe diese Frage sonst nirgendwo im Internet gestellt.
Man nehme zwei Folgen, die divergent sind:
1.) Die Folge [mm] a_n [/mm] = n
Sie divergiert bestimmt gegen + unendlich
2.) Die Folge [mm] b_n [/mm] = (-n)
Sie divergiert bestimmt gegen - unendlich
->
Die Folge [mm] c_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] = n + (-n) = 0.
Diese Folge konvergiert gegen 0.
Passt das denn? Mir kommt das zu einfach vor, bzw. bin ich mir nicht sicher ob man bei der Nullfolge von Konvergenz sprechen kann, andererseits ist aber auch
[mm] |c_n [/mm] - 0| = | 0 - 0 | = 0 < 'epsilon' für alle 'epsilon' > 0.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kartoffelchen!
Alles okay mit Deiner Folgenwahl. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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Hallo,
erstmal vielen Dank für die Antwort!
Ich habe da noch eine "ähnliche" Behauptung:
Es wird behauptet:
[mm] $(a_n [/mm] ), [mm] (b_n [/mm] )$ konvergieren $ [mm] \leftrightarrow (a_n + b_n )$ und $ (a_n - b_n ) $ konvergieren.
Diese Behauptung gilt nur, wenn beide Richtungen erfüllt sind.
Dabei muss aber sowohl die Summe als auch die Differenz der beiden Folgen konvergieren.
Wenn ich beispielsweise wieder das Beispiel $ a_n = n ; b_n = -n$ heranziehe, funktioniert das zwar mit der Summe, aber nicht mit der Differenz.
D.h. ich würde nun erst einmal annehmen, dass obige BEhauptung stimmt.
Beweis:
"=>"
Sei $ lim( a_n ) = a ; lim( b_n ) = b $.
Dann folgt:
$ |a_n - a| < \varepsilon$
$|b_n - b| < \varepsilon$
und
$| (a_n + b_n ) - (a + b) | \le |a_n - a| + |b_n - b| < 2\varepsilon $
Analog dazu für die Differenz.
Und die andere Richtung sollte sich dann analog dazu ergeben.
Stimmt das?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> erstmal vielen Dank für die Antwort!
>
> Ich habe da noch eine "ähnliche" Behauptung:
>
> Es wird behauptet:
> [mm](a_n ), (b_n )[/mm] konvergieren [mm]\leftrightarrow (a_n + b_n )[/mm]
> und [mm](a_n - b_n )[/mm] konvergieren.
>
> Diese Behauptung gilt nur, wenn beide Richtungen erfüllt
> sind.
> Dabei muss aber sowohl die Summe als auch die Differenz
> der beiden Folgen konvergieren.
> Wenn ich beispielsweise wieder das Beispiel [mm]a_n = n ; b_n = -n[/mm]
> heranziehe, funktioniert das zwar mit der Summe, aber nicht
> mit der Differenz.
>
> D.h. ich würde nun erst einmal annehmen, dass obige
> BEhauptung stimmt.
Ja, das tut sie.
>
> Beweis:
>
> "=>"
> Sei [mm]lim( a_n ) = a ; lim( b_n ) = b [/mm].
> Dann folgt:
> [mm]|a_n - a| < \varepsilon[/mm]
> [mm]|b_n - b| < \varepsilon[/mm]
>
> und
>
> [mm]| (a_n + b_n ) - (a + b) | \le |a_n - a| + |b_n - b| < 2\varepsilon[/mm]
Das ist doch kein Beweis ! Schreib ihn sauber auf. Zeige: zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_0 [/mm] mit:
[mm]| (a_n + b_n ) - (a + b) | \le |a_n - a| + |b_n - b| < 2\varepsilon[/mm] für n > [mm] n_0.
[/mm]
>
> Analog dazu für die Differenz.
> Und die andere Richtung sollte sich dann analog dazu
> ergeben.
mach mal vor.
FRED
>
>
> Stimmt das?
>
>
>
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Okay, los gehts:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0 $ vorgegeben, dann ist auch $ [mm] \varepsilon/2 [/mm] > 0 $.
Da [mm] $a_n [/mm] $ und [mm] $b_n [/mm] $ konvergieren, existieren [mm] $N_1 [/mm] $ und [mm] $N_2 [/mm] $ mit
[mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1 [/mm] $ und [mm] |b_n [/mm] - b| < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2 [/mm] $.
Dann folgt für alle $n [mm] \ge [/mm] N := [mm] max(N_1 [/mm] , [mm] N_2) [/mm] $:
[mm] $|(a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] ) - (a+b) | [mm] \le |a_n [/mm] - a| + [mm] |b_n [/mm] - b| < [mm] \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Erstmal zu dem Teil.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, los gehts:
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> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] vorgegeben, dann ist auch [mm]\varepsilon/2 > 0 [/mm].
>
> Da [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] konvergieren, existieren [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] mit
> [mm]|a_n[/mm] - a| < [mm]\varepsilon/2[/mm] für alle [mm]n \ge N_1[/mm] und [mm]|b_n[/mm] -
> b| < [mm]\varepsilon/2[/mm] für alle [mm]n \ge N_2 [/mm].
>
> Dann folgt für alle [mm]n \ge N := max(N_1 , N_2) [/mm]:
> [mm]$|(a_n[/mm] +
> [mm]b_n[/mm] ) - (a+b) | [mm]\le |a_n[/mm] - a| + [mm]|b_n[/mm] - b| < [mm]\varepsilon/2[/mm] +
> [mm]\varepsilon/2[/mm] = [mm]\varepsilon.[/mm]
So ist es sauber.
FRED
>
> Erstmal zu dem Teil.
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Hallo; das freut mich!
Für die Differenz, die ja nun auch noch gezeigt werden muss, habe ich folgendes überlegt:
Es ist [mm] $-b_n [/mm] = [mm] (-1)b_n [/mm] $
und $ lim(- [mm] b_n) [/mm] = -1 [mm] lim(b_n [/mm] )$
Analog zu dem zuvor gezeigten Beweis für die Summe:
Da $ [mm] a_n [/mm] $ und $ [mm] b_n [/mm] $ konvergieren, existieren $ [mm] N_1 [/mm] $ und
$ [mm] N_2 [/mm] $ mit [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ für alle $ n [mm] \ge N_1 [/mm] $ und $ [mm] |(-1)b_n [/mm] $ + b| < $ [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ für alle $ n [mm] \ge N_2 [/mm] $.
Dann folgt für alle $ n [mm] \ge [/mm] N := [mm] max(N_1 [/mm] , [mm] N_2) [/mm] $:
[mm] $|(a_n [/mm] + [mm] (-1)b_n [/mm] ) - (a-b) | [mm] \le |a_n [/mm] - a| + [mm] |(-1)b_n [/mm] + b| < [mm] \varepsilon/2 [/mm] +
[mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon. [/mm]
_ _ _ _
Sollte dieser Beweis auch in Ordnung sein (zumindest stimmt die Behauptung ja, wie ich von dir inzwischen weiß), dann habe ich somit die erste Richtung gezeigt.
Es fehlt nun noch die Umkehrung:
" [mm] $(a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] )$ und [mm] $(a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] )$ konvergieren $ [mm] \rightarrow a_n [/mm] $ und [mm] $b_n [/mm] $ konvergieren "
Diese Behauptung hätte ich ja, wie in einem vorherigen Beitrag geäußert, aus dem ersten Beweis geschlossen, scheint aber doch nicht ganz so simpel zu sein wie angenommen, da ich ja sowohl die Summe als auch die Differenz mit einbeziehen muss.
Daher: Wie gehe ich hier vor?
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Hiho,
> Sollte dieser Beweis auch in Ordnung sein (zumindest stimmt die Behauptung ja, wie ich von dir inzwischen weiß), dann habe ich somit die erste Richtung gezeigt.
> Es fehlt nun noch die Umkehrung:
Das tolle an dem Satz ist: Man kann die Rückrichtung jetzt mit der Hinrichtung beweisen 
Du hast ja bereits gezeigt: Wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergieren, so auch [mm] $a_n [/mm] + [mm] b_n$ [/mm] und [mm] $a_n [/mm] - [mm] b_n$
[/mm]
Für die Rückrichtung setze [mm] $c_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n, d_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] b_n$ [/mm] und betrachte [mm] $c_n [/mm] + [mm] d_n$ [/mm] bzw [mm] $c_n [/mm] - [mm] d_n$.
[/mm]
Gruß,
Gono.
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Hallo,
das ist super, vielen Dank!
Ich hatte nur Zweifel, ob dies 'so einfach' möglich ist, da es ja darum geht, dass die Konvergenz sowohl der Summe als auch der Differenz der beiden Folgen als Voraussetzung gelten. Mit deinem Hinweis klappts natürlich :D
Also danke an alle Hilfeleistenden,
schönes Wochenende!
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brutale Mathematik