Summe der Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hier noch eine Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet:
Man berechne die Summe der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^2-1}.
[/mm]
Ich habe versucht, den Nenner irgendwie zu zerlegen, allerdings komme ich damit auch nicht weiter. Mit einer geometrischen Reihe geht das doch auch nicht, oder? Wie löst man solch eine Aufgabe denn dann?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 27.07.2005 | | Autor: | felixs |
hallo.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^2-1}.[/mm]
versuch mal das ding unter der summe partialbruchzuzerlegen. dann krigst du 2 summen deren summanden sich gegenseiting ziemlich wegheben.
naja ich denke mal mit dem hinweis ist das ganz einfach.
--felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Felix!
> hallo.
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^2-1}.[/mm]
> versuch mal das ding unter der summe
> partialbruchzuzerlegen. dann krigst du 2 summen deren
> summanden sich gegenseiting ziemlich wegheben.
Gibt's das Wort wirklich oder hast du's erfunden? Das Verb "partialbruchzerlegen". *gg* 
Okay, vielen Dank für den Tipp! Kann man so etwas bei Konvergenzaufgaben öfter machen? Dann merke ich mir das nämlich. 
Jedenfalls habe ich das jetzt mal gemacht, und als Partialbruchzerlegung habe ich erhalten:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^2-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-0,5}{2n+1}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{2n-1}
[/mm]
Ich hoffe mal, ich habe mich nicht verrechnet.
So, und dann fällt da, wie du gesagt hast, ganz viel weg, und es bleibt noch übrig, wenn ich dann mal die unendliche Summe als Grenzwert einer endlichen Summe schreibe:
[mm] =\lim_{m\to\infty}{(-0,5-\bruch{0,5}{2m+1})} [/mm] = -0,5
Könntest du das vielleicht mal alles überprüfen? Bin mir nämlich nicht 100%ig sicher.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> Gibt's das Wort wirklich oder hast du's erfunden? Das Verb
> "partialbruchzerlegen".
Na, dann mal schnell in den Duden mit dem Verb ...
> Okay, vielen Dank für den Tipp! Kann man so etwas bei
> Konvergenzaufgaben öfter machen? Dann merke ich mir das
> nämlich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sollte man schon im Hinterstübchen behalten diese Vorgehensweise!
> Jedenfalls habe ich das jetzt mal gemacht, und als
> Partialbruchzerlegung habe ich erhalten:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^2-1}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-0,5}{2n+1}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{0,5}{2n-1}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]=\lim_{m\to\infty}{(-0,5-\bruch{0,5}{2m+1})}[/mm] = -0,5
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das kann nicht stimmen:
Da Du ausschließlich positive Werte addierst (sieh Dir mal die Ausgangsdarstellung an), muß am Ende auch ein positiver Wert für die Gesamtsumme entstehen.
Aber Du warst knapp dran:
[mm]= \ \lim_{m\to\infty}{\left(\red{+}0,5-\bruch{0,5}{2m+5}\right)} \ = \ \red{+}0,5[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Thorsten!
> > [mm]=\lim_{m\to\infty}{(-0,5-\bruch{0,5}{2m+1})}[/mm] = -0,5
>
> Das kann nicht stimmen:
> Da Du ausschließlich positive Werte addierst (sieh Dir mal
> die Ausgangsdarstellung an), muß am Ende auch ein positiver
> Wert für die Gesamtsumme entstehen.
Hast Recht - da hatte ich mal wieder vor leuter Rechnen meinen Verstand ausgeschaltet. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> Aber Du warst knapp dran:
>
> [mm]= \ \lim_{m\to\infty}{\left(\red{+}0,5-\bruch{0,5}{2m+5}\right)} \ = \ \red{+}0,5[/mm]
Na, immerhin, "nur" ein Vorzeichenfehler *g* - naja, eigentlich ein Rechen- oder Denkfehler. Oder es lag an meinem Schmierpapier - du möchtest nicht wissen, wie das aussieht... Da kann man nämlich gar nichts mehr drauf erkennen.
Viele Grüße und danke für die Kontrolle und Korrektur.
Christiane
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