Summe berechnen/Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 18.10.2010 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | Berechne die Summe:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^k*k [/mm] |
Vermutlich soll ich bei dieser Aufgabe
Eine Formel für die Summe aufstellen und diese dann mit Induktion beweisen.
Dazu hab ich mir die Summen für 1 bis 5 mal aufgeschrieben.
[mm]
\{-1,1,-2,2,-3,.......\}
[/mm]
Es fällt auf das bei geraden n die Summe positiv, und bei ungeraden negativ.
Durch rumprobieren hab ich dann 2 Formeln aufgestellt
[mm]
\bruch{n}{2}*(-1)^n [/mm], fuer gerade
[mm]
\bruch{n+1}{2}*(-1)^n [/mm], fuer ungerade
Ab hier komm ich nicht mehr weiter.
mfg
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Hallo,
das sieht doch schon gut aus. Wohin willst Du denn noch weiter?
Es gibt noch ein bisschen Überflüssiges:
> Berechne die Summe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^k*k[/mm]
> Vermutlich soll ich bei dieser Aufgabe
> Eine Formel für die Summe aufstellen und diese dann mit
> Induktion beweisen.
Induktion scheint da nicht nötig zu sein.
> Dazu hab ich mir die Summen für 1 bis 5 mal
> aufgeschrieben.
> [mm]\{-1,1,-2,2,-3,.......\}[/mm]
> Es fällt auf das bei geraden n die Summe positiv, und bei
> ungeraden negativ.
>
> Durch rumprobieren hab ich dann 2 Formeln aufgestellt
> [mm]\bruch{n}{2}*(-1)^n [/mm], fuer gerade
für n=2k beträgt die gesuchte Summe also k. Die [mm] (-1)^n [/mm] kannst Du Dir doch schenken, da kommt ja immer [mm] (-1)^{2k}=\left((-1)^2\right)^k=1^k=1 [/mm] heraus.
> [mm]\bruch{n+1}{2}*(-1)^n [/mm], fuer ungerade
Hier ähnlich. Für n=2k-1 ist [mm] (-1)^n [/mm] immer gleich -1, also die gesuchte Summe dann eben -k. (Pardon, hatte mich gerade tervippt)
> Ab hier komm ich nicht mehr weiter.
> mfg
Wenn Du unbedingt Induktion üben musst, dann musst Du die beiden Summenformeln getrennt voneinander beweisen, also einmal für die geraden Zahlen und einmal für die ungeraden. Ich sehe nur nicht, wieso überhaupt Induktion nötig sein soll.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 18.10.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Mein erster Gedankengang war das sich aus den beiden Formeln vielleicht eine einzige bekomme, und diese dann beweise.
Das [mm](-1)^n[/mm] überflüssig ist leuchtet mir ein.
Ich verstehe allerdings nicht wieso man einfach für [mm]n , 2*k[/mm] bzw. [mm]2*k-1[/mm] wählen kann.
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Hallo Lobi,
schau mal hier, da wurde diese Aufgabe schon ausführlich erörtert.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mo 18.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> schau mal hier, da
> wurde diese Aufgabe schon ausführlich erörtert.
Och, guck. Das spart Arbeit. 
Zu der Frage nach 2k und 2k-1: das ist doch nichts anderes als die Umsetzung von "gerade" und "ungerade" in eine mathematische Schreibweise. Das wird Dir häufiger begegnen.
Eine einheitliche Summenformel wäre schon aufzustellen, aber sie würde entweder Betragsstriche beinhalten oder irgendeine Potenz von (-1).
Versuchs doch mal.
Beim Beweis einer solchen einheitlichen Summenformel müsstest Du trotzdem den Induktionsschritt von gerade auf ungerade und den von ungerade auf gerade getrennt untersuchen, so dass Du eigentlich genausogut bei der jetzt schon vorliegenden Form bleiben kannst.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mo 18.10.2010 | | Autor: | LoBi83 |
In dem Beitrag ist ja alles super erklärt besten Dank.
Mein Problem war eher das du k was ja die Laufvariable in der Summe ist verwendest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mo 18.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Mein Problem war eher das du k was ja die Laufvariable in
> der Summe ist verwendest.
Ach so. Darauf habe ich in der Tat nicht geachtet. Verwirrende Doppelbezeichnungen innerhalb einer Aufgabe sollte man natürlich vermeiden. Sorry.
Grüße
reverend
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