Summe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{2n}(k+1)^3 [/mm] für n [mm] \el \IN.
[/mm]
Induktionsschritt: n->n+1 ....
Ist solch eine Lösung auch korrekt? |
Beweis durch Berechnung mit Summenformel inkl. Indexverschiebung ist klar. Kann diese Aufgabe auch mit vollst. Induktion gelöst werden?
Induktionsanfang: n=1.
Induktionsschritt: n->n+1 ....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 So 08.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Was willst du beweisen. Da steht nur ein Term
Marius
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Hier steht nur: Berechnen Sie .... dann steht die Summe da.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 So 08.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann wird dir nicht viel übrig bleiben, als die Summe auseinanderzuziehen
Also entweder:
[mm] \summe_{k=0}^{2n}(k+1)^3
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{2n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{2n}k^{3}+\summe_{k=0}^{2n}3k^{2}+\summe_{k=0}^{2n}3k+\summe_{k=0}^{2n}1
[/mm]
Oder:
[mm] \summe_{k=0}^{2n}(k+1)^3
[/mm]
[mm] =(1+1)^3+(2+1)^3+\ldots+((n-1)+1)^3+(n+1)^3+((n+1)+1)^3+\ldots+((2n-1)+1)^3+(2n+1)^3
[/mm]
Vielleicht hilft dir einer der Tipps weiter.
Marius
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> [mm]\summe_{k=0}^{2n}(k+1)^3[/mm] für n [mm]\el \IN.[/mm]
Hallo,
Du kannst eine Indexverschiebung machen und bist damit sehr schnell am Ziel, sofern Dir die Summenformel für [mm] \summe k^3 [/mm] bekannt ist:
[mm] \summe_{k=0}^{2n}(k+1)^3=\summe_{k=1}^{2n+1}(k)^3
[/mm]
(Das entspricht letztendlich Marius' zweitem Vorschlag)
Gruß v. Angela
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Ja, das habe ich auch gemacht.
Ich möchte nur wissen, ob man diese Aufgabe mit vollst. Induktion lösen darf bzw. kann?
DANKE für die Hinweise.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 So 08.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ja, das habe ich auch gemacht.
>
> Ich möchte nur wissen, ob man diese Aufgabe mit vollst.
> Induktion lösen darf bzw. kann?
Wenn du eine Summenformel gefunden hast, kannst du sie selbstverständlich mit. vollst. Ind. beweisen.
Aber der spannendste Teil ist ja erst das Finden der Summenformel.
k=1: [mm] s_1=1
[/mm]
k=2: [mm] s_2=1+27=28
[/mm]
k=3: [mm] S_3=1+27+125=153
[/mm]
k=4: [mm] s_4=1+27+125+343=496
[/mm]
1=1*1
28=4*7
153=3*51=9*17
Die Faktoren 1, 4 und 9 sind Quadratzahlen, ich vermute deshal in [mm] s_4 [/mm] eine 16.
Mal sehen:
496=16*31
Scheinbar gilt [mm] s_n=n^2*(irgendwas); [/mm] jetzt muss nur noch eine Möglichkeit gefunden werden, die Folge 1, 7, 17, 31 (die Differenzen dazwischen wachsen um je 4, als nächstes vermute ich 49) explizit auszudrücken.
Gruß Abakus
EDIT:
Oh Mist, ich habe gepennt.Ich habe ja nur (warum, weiß ich selbst nicht) die ungeraden Primzahlpotenzen addiert.
Also nochmal:
n=1: [mm] s_1=1+8=9=3^2
[/mm]
n=2: [mm] s_2=1+8+27+64=100=10^2
[/mm]
n=3: [mm] s_3=1+8+27+64+125+216=441=21^2
[/mm]
n=4: [mm] s_4=1+8+27+64+125+216+343+512=1296=36^2
[/mm]
Es gilt
3=(2*3)/2
10=(4*5)/2
21=(6*7)/2
und damit allgemein
[mm] s_n=(2n*(2n+1)/2)^2=(n*(2n+1))^2
[/mm]
Gruß Abakus
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Gut, danke für den Hinweis.
Das heißt, dass ich nicht davon ausgehen kann,
das für n->n+1 folgendes gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{2n+2} (k+1)^3 [/mm] = [mm] \summe_{K=0}^{2n} (k+1)^3 [/mm] + [mm] (2n+2)^3 [/mm] + [mm] (2n+3)^3 [/mm]
Dann setze ich ein, multipliziere aus und komme zu:
4 [mm] (n+1)^4 [/mm] + 12 [mm] (n+1)^3 [/mm] + 13 [mm] (n+1)^2+6(n+1)+1.
[/mm]
Das ist also keine korrekte Lösung, oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 08.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Gut, danke für den Hinweis.
>
> Das heißt, dass ich nicht davon ausgehen kann,
>
> das für n->n+1 folgendes gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2n+2} (k+1)^3[/mm] = [mm]\summe_{K=0}^{2n} (k+1)^3[/mm] +
> [mm](2n+2)^3[/mm] + [mm](2n+3)^3[/mm]
> Dann setze ich ein, multipliziere aus und komme zu:
> 4 [mm](n+1)^4[/mm] + 12 [mm](n+1)^3[/mm] + 13 [mm](n+1)^2+6(n+1)+1.[/mm]
>
> Das ist also keine korrekte Lösung, oder?
Weiß ich nicht. Allerdings war meine vorhin gepostete Formel falsch, ich habe den Artikel gerade korrigiert.
Bitte teste mal, ob deine Formel mit meiner korrigierten Version übereinstimmt.
Gruß Abakus
>
> Gruß
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