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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Summe der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3+(-1)^k}{(-2)^{k+1}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komm bei diesen Aufgaben irgendwie gar nicht zur Potte...
Ich hab zu erst die Summe getrennt geschrieben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3+(-1)^k}{(-2)^{k+1}}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3+}{(-2)^{k+1}}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(-2)^{k+1}}
[/mm]
Jetzt könnte ich noch das [mm] (-1)^k [/mm] kürzen:
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{(-2)^{k+1}}-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k+1}}
[/mm]
Der 2. Summanden (der ja auch wieder eine Summe ist) kann ich jetzt mit der Umformung [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k+1}}= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{k+1}}-1= \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] -1=1 vereinfachen (aus der geometrischen Reihe).
Aber wie vereinfachen ich den ersten Summanden? Das die konvergiert sagt uns Leibniz, aber gegen was?
Hilft der Ansatz über Cauchykonvergenz: [mm] S_{n+1}-S_n=a_{n+1}? [/mm] Ich sehe spontan keinen Weg dabei...
Was mach ich denn falsch?
Danke schonmal!
lg Kai
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Hallo kuemmelsche,
> Berechnen Sie die Summe der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3+(-1)^k}{(-2)^{k+1}}[/mm]
> Hallo zusammen,
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> ich komm bei diesen Aufgaben irgendwie gar nicht zur
> Potte...
>
> Ich hab zu erst die Summe getrennt geschrieben:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3+(-1)^k}{(-2)^{k+1}}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3+}{(-2)^{k+1}}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(-2)^{k+1}}[/mm]
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> Jetzt könnte ich noch das [mm](-1)^k[/mm] kürzen:
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{(-2)^{k+1}}-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k+1}}[/mm]
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> Der 2. Summanden (der ja auch wieder eine Summe ist) kann
> ich jetzt mit der Umformung
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k+1}}= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{k+1}}-1= \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}[/mm]
> -1=1 vereinfachen (aus der geometrischen Reihe).
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> Aber wie vereinfachen ich den ersten Summanden? Das die
> konvergiert sagt uns Leibniz, aber gegen was?
Forme den ersten Summanden zu einer geometrischen Reihe um.
Der Wert dieser geometrischen Reihe ist bekannt.
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> Hilft der Ansatz über Cauchykonvergenz:
> [mm]S_{n+1}-S_n=a_{n+1}?[/mm] Ich sehe spontan keinen Weg dabei...
>
> Was mach ich denn falsch?
>
> Danke schonmal!
>
> lg Kai
Gruß
MathePower
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Halle MathePower,
danke erstmal für die schnelle Antwort!
Stimmt... ich kann die 3 ausklammern und hab meine geometrische Reihe!
Danke für den Tip!
lg Kai
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