Summe aller natürlichen Zahlen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
| Aufgabe | | Summe i=1 bis unendlich (i) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
ich habe heute das neueste Video von "Numberphile" bei Youtube gesehen, bei der es um die Summe aller natürlichen Zahlen geht.
Mittels einiger Schritte wurde damit bewiesen, dass diese -1/12 sein soll.
Nunja, da ich selbst gerade erst mein Abitur beende bin ich noch ein Laie in diesem Gebiet, daher meine Frage;
Rein aus meiner "Vernunft" kann ich nicht akzeptieren, dass 1+2+3+4 + usw -1/12 sein soll-
Der gelieferte Beweis sieht aus wie folgt;
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+1 usw
Die Lösung davon soll 0,5 sein, was ich an sich nicht direkt abnicke, mir aber irgendwie klar erscheint, entweder ist es 1 oder 0, da die folge unendlich ist, nehme ich an; 0,5
S2=1-2+3-4+5 usw
um diese Summe auszurechnen bedienen sich die Leute von Numberphile eines Tricks;
2*S2 =
1-2+3-4+5 usw
+ 1- 2+3-4+5 usw
_____________
1-1+1-1+1-1+1 usw -> würde ausgerechnet heraus kommen, wenn man diese Zeilen untereinander Addiert und damit weiterrechnet-
Da wäre mein erster Anhaltspunkt bei dem ich sagen würde, dass er dafür verantwortlich ist, dass das Ergebnis -1/12 verfälscht würde, da die "letzte Zahl" dieser unendlichen Folge, auch wenn es sowas nicht gibt, vllt aber doch, der unteren zeile entweder + [mm] \infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] ergeben würde, was ich als [mm] \infty [/mm] /2 bzw - [mm] \infty/2 [/mm] selbst erschließen würde-
Aber davon ausgegangen, dass die Summe, so wie ich sie oben zuletzt geschrieben habe, richtig ist, würde dies heißen, dass 2*S2=0,5 bzw S2=0,25 wäre-
weiter gehts,,,
Nun wird gerechnet;
S-S2=
1+2+3+4+5 usw
-{1-2+3-4+5 usw }
_______________
0+4+0+8+ usw, was auch geschrieben werden kann als;
4(1+2+3+4+ usw)
und dann die Klammer durch S ersetzen ->
S-S2=4*S |-S
-S2 = 3*S
S2 habe ich eben gerechnet; 0,25 - also;
-1/4=3*S |/3
-1/12 = S
Wie kann es da sein, dass die Summe von positiven Zahlen, die mit jedem Summand zunehmen, negativ, also unter 0 gehen kann, wenn doch nur positive Zahlen addiert werden?
Müsste das nicht heißen, dass dieses Verfahren mit dem versetzt untereinander Addieren bei unendlichen Zahlen nicht gilt?
Ich hoffe, Ihr könnt mir das erklären ;D
MfG
JKasp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Solche komischen Sachen kommen immer raus, wenn man aus etwas falschem ausgeht und Folgerungen macht.
Beispiel:
Ich nehme an, dass folgendes gilt:
$1+1=0$
Daraus folgt:
[mm] $1+1=1+1\Rightarrow [/mm] 2=2$
Aus einer falsches Aussage kann alles folgen, in diesem Fall etwas waren.
Das heißt aber nicht, dass $1+1=0$ gilt!
Was aber wirklich gilt:
[mm] 1+2+3+\ldots=\summe_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Beispiel:
Setze $n:=5$, dann gilt:
$1+2+3+4+5=15$
Mit unserer Summenformel:
[mm] $1+2+3+4+5=\summe_{i=1}^{5}i=\frac{5(5+1)}{2}=\frac{30}{2}=15
[/mm]
Ich würde dir raten von solchen komischen Youtube-Videos die Finger zu lassen und
ein anständiges Analysis Buch oder ein Analysis Skript, z.B. von ![[]](/images/popup.gif) Ferus, aus dem Internet zu lesen.
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
Danke für die schnelle Antwort, allerdings halte ich die Videos von Numberphile nicht für unseriös und würde daher lieber eine weitere Antwort abwarten, oder du geht näher auf deine Aussage, dass das alles Quatsch ist ein und erklärst mir, was daran genau falsch ist, anstatt mir zu zeigen, wie eine Summe bzw. die Gaußsche Summenformel funktioniert.
Ist nicht böse gemeint, nur habe ich etwas mehr von einer Antwort erwartet ;D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Das ist auch vollkommen in Ordnung, aber ich bin davon ausgegangen,
dass du es selbst erkennt hast.
> S1=1-1+1-1+1-1+1-1+1 usw
> Die Lösung davon soll 0,5 sein, was ich an sich nicht direkt > abnicke, mir aber irgendwie klar erscheint, entweder ist es > 1 oder 0, da die folge unendlich ist, nehme ich an; 0,5
Aus was falschem folgt dann beliebiges.
Stell deine Frage oben als "unbeantwortet" oder so.
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
Alles klar, das heißt, es gibt kein eindeutiges Ergebnis, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n [/mm] divergiert, denn [mm] a_n:=n [/mm] ist keine Nullfolge.
Damit ist alles gesagt 
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
okay, vielen dank nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Betrachte die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}
[/mm]
Die Folge von Partialsummen ist:
[mm] S_1=1
[/mm]
[mm] S_2=0
[/mm]
[mm] S_3=1
[/mm]
[mm] S_4=0
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
Aber man könnte auch folgendes schreiben:
[mm] S=1-1+1-1+1-1+1\ldots
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] S=1-(1-1+1-1+1-1)=1-S\gdw S=\frac{1}{2}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}=\frac{1}{2}
[/mm]
Das ist natürlich Quatsch ist, denn [mm] a_n:=(-1)^{n-1} [/mm] ist keine Nullfolge.
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
Danke für dein Summenbeispiel, das würde heißen S=1-S, das hieße, dass S keine Lösung besitzt und somit ungleich 0,5 ist, oder habe ich wieder was übersehen?
Falls es dir nicht zu viele Umstände bereitet, kannst du mir erklären, was genau du mit dem Ausdruck " $ [mm] a_n:=(-1)^{n-1} [/mm] $ ist keine Nullfolge" meinst?
Eine Nullfolge ist ja eine Folge, die gegen 0 strebt, aber der Zusammenhang
wird mir nicht klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
Oh man, natürlich gibts da ein Ergebnis -> 0,5 .
Aber da bleibt meine Frage mit der Nullfolge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Danke für dein Summenbeispiel, das würde heißen S=1-S,
> das hieße, dass S keine Lösung besitzt und somit ungleich
> 0,5 ist, oder habe ich wieder was übersehen?
Es würde folgen:
[mm] S=1-S\Rightarrow 2S=1\Rightarrow S=\frac{1}{2}
[/mm]
Jetzt kommen wir zu der Definition einer Reihe.
Ich mache es mal nicht zu allgemein:
Gegeben sei eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IR.
[/mm]
Die entsprechende Reihe mit den Gliedern [mm] a_n [/mm] ist das Symbol
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
Die Zahlen
[mm] S_1=a_1
[/mm]
[mm] S_2=a_1+a_2
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}a_n
[/mm]
heißen Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
Diese bilden eine weitere Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}, [/mm] die sogenannte Partialsummenfolge.
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt konvergent, falls ihre Partialsummenfolge [mm] (s_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}.
[/mm]
Es gilt bei Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}S_N=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Das Symbol [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] hat demnach zwei verschiedene Bedeutungen.
Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Das was die in deinem Video machen und was mein Beispiel zeigt ist genau das.
>
> Falls es dir nicht zu viele Umstände bereitet, kannst du
> mir erklären, was genau du mit dem Ausdruck "
> [mm]a_n:=(-1)^{n-1}[/mm] ist keine Nullfolge" meinst?
>
> Eine Nullfolge ist ja eine Folge, die gegen 0 strebt, aber
> der Zusammenhang
> wird mir nicht klar.
Ja, eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen $0$ konvergiert.
Eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] kann nur dann konvergieren, wenn ihre Glieder [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge bilden.
Achtung:
Das ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz!
Betrachte zum Beispiel:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] a_n:=\frac{1}{n} [/mm] ist eine Nullfolge, aber die Reihe divergiert!
Aber es ist das Trivialkriterium um zu zeigen, dass eine Reihe divergiert.
Beispiele:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n [/mm] divergiert, denn [mm] a_n:=n [/mm] ist keine Nullfolge.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=\summe_{n=1}^{\infty}1 [/mm] divergiert, denn [mm] a_n=1 [/mm] ist keine Nullfolge.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n [/mm] divergiert, denn [mm] a_n:=(-1)^n [/mm] ist keine Nullfolge
Jetzt klarer?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
Ich bin mir nicht ganz sicher;
Also ist eine Reihe konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_n [/mm] sich einem Wert annähert, also zB 1, 0 oder meinetwegen 63?
Und da die Partialsummenfolge der Folge [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^i [/mm] sich keinem Wert annähert, ist sie divergent?
Und da sie divergent ist, kann sie nicht als Summe, sonder nur als Reihe gesehen werden und daher nicht als eine Zahl wie 0,5?
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] $
Wenn diese Folge divergent ist, hieße das dann, dass ihre Partialsummenfolge bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_n [/mm] sich keinem Wert annähert?`
Also dass 1/1 = 1 - 1/1 + 1/2=1,5 - 1/1 + 1/2 + 1/3 = 1,8333 - usw hinterher keine Zahl ist?
Zurück zu meiner ursprünglichen Frage hieße das, dass der Fehler bereits darin liegt, die Folge [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^i [/mm] als Summe = 0,5 zu nehmen, da sie nicht konvergent ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Sa 11.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich bin mir nicht ganz sicher;
>
> Also ist eine Reihe konvergent, wenn ihre
> Partialsummenfolge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} S_n[/mm] sich
> einem Wert annähert, also zB 1, 0 oder meinetwegen 63?
>
> Und da die Partialsummenfolge der Folge
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^i[/mm] sich keinem Wert annähert,
> ist sie divergent?
>
> Und da sie divergent ist, kann sie nicht als Summe, sonder
> nur als Reihe gesehen werden und daher nicht als eine Zahl
> wie 0,5?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
> Wenn diese Folge divergent ist, hieße das dann, dass ihre
> Partialsummenfolge bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} S_n[/mm] sich
> keinem Wert annähert?'
> Also dass 1/1 = 1 - 1/1 + 1/2=1,5 - 1/1 + 1/2
> + 1/3 = 1,8333 - usw hinterher keine Zahl ist?
Nur im Fall der Konvergenz existiert auch der Grenzwert der Partialsummenfolge!
Deswegen habe ich geschrieben:
Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.
Nur im Konvergenzfall macht die Summe der Reihe einen Sinn.
>
>
> Zurück zu meiner ursprünglichen Frage hieße das, dass
> der Fehler bereits darin liegt, die Folge
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^i[/mm] als Summe = 0,5 zu nehmen, da
> sie nicht konvergent ist?
>
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Sa 11.01.2014 | | Autor: | JKasp |
alles klar, vielen lieben dank für deine Zeit 
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> Solche komischen Sachen kommen immer raus, wenn man aus
> etwas falschem ausgeht und Folgerungen macht.
>
> Beispiel:
>
> Ich nehme an, dass folgendes gilt:
>
> [mm]1+1=0[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]1+1=1+1\Rightarrow 2=2[/mm]
>
> Aus einer falsches Aussage kann alles folgen, in diesem
> Fall etwas waren.
> Das heißt aber nicht, dass [mm]1+1=0[/mm] gilt!
1+1=0 ist ein denkbar ungünstiges Beispiel für eine falsche Aussage. Je nach Gruppe/Ring den man betrachtet ist die Aussage sogar richtig.
Z.B. gilt in Ringen der Charakteristik 2, dasss 1+1=0 (genauer sind die Ringe der Char. 2 gerade die Ringe in denen dies gilt.)
https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristik_%28Mathematik%29
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Charakteristik 1 sollte man nicht vergessen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Fr 10.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Du wirst von denen, die ein wenig von Mathematik verstehen, keinen anderen Antworten bekommen. Du kannst nur beliebig viele Formulierungsvariationen dieser Antwort erhalten.
Ich habe mir das Video angesehen. Achte genau auf den Text, insbesondere wo Aussagen über die Existenz und nicht Existenz von Grenzwerten erfolgen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Fr 10.01.2014 | | Autor: | JKasp |
Ok, dann danke ich Euch beiden!
Sehr enttäuschend...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo zusammen,
auch ich war eigentlich ein Fan von Nuberphile, aber bei diesem Video haben sich mir die Haare aufgestellt.
Es ist völlig klar, dass der "Beweis" mathematisch gesehen totaler Unfug ist. Aber es wird (insbesondere in einem weiteren Video) auf die Physik verwiesen: Die Summe 1+2+3+4+5+... soll dort vielfach auftreten und nur wenn sie den Wert -1/12 hat, ergäbe die Theorie Sinn.
Während meines Lehramtsstudiums ist mir diese Summe nicht unter die Finger gekommen... Daher frage ich mich: Wo taucht diese Summe in der Physik auf und warum/wie stützt man sich da auf mathematisch falsche Aussagen?
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Sa 11.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Da sind reichlich Engländer bei Numberphile. Ich finde, dass man von Anfang an hört, dass dieses Video ein Ausflug in die Irrwege darstellt. Für Engländer wird es geradezu deutlich formuliert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Fr 17.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Bei der neuen Diskussion zu diesem Thema https://www.vorhilfe.de/read?t=1061812 habe ich auf die im Film sichtbare Buchseite geschaut.
Da steht das Wort "Renormierung". Ich habe von diesem Thema keine Kenntnisse, nur einen Hauch einer Ahnung. Bei Wikipedia gibt es einen Artikel dazu. Immerhin gab es 1982 dafür einen Nobelpreis.
Ich habe den Eindruck, dass sich die Akteure in dem Film einen Spaß daraus machen, diese aus dem Zusammenhang gerissene Formel mit einem Pseudobeweis als allgemeingültig zu präsentieren. Diese Version des britischen Humors sagt mir sehr zu.
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Hallo,
ich hab' den Beweis im Video nicht gesehen, der Hintergund ist aber mit ziemlicher Sicherheit folgender:
Die Reihe [mm] $\zeta(s) [/mm] ;= [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}$ [/mm] konvergiert für alle komplexen s mit Re(s)>1.
Man kann sie allerdings mit Mitteln der Funktionentheorie eindeutig in der komplexen Ebene fortsetzen.
Diese Fortsetzung nennt man Riemannsche Zeta-Funktion
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_%CE%B6-Funktion .
Diese ist bei -1 definiert.
Setzt man nun - natürlich illegalerweise, aber sowas hält insbesondere Physiker nicht wirklich ab - die Zeta-Funktion mit der Reihe auch an Stellen gleich, an denen die reihe nicht definiert ist (wie -1), so ergibt sich [mm] $\zeta(-1) [/mm] := [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{-1}}= \sum_{n=1}^\infty [/mm] n$ und es ist [mm] $\zeta [/mm] (-1)= [mm] \frac{-1}{12}$ [/mm] damit ergibt sich die behauptete - aber wie gesagt, notationsmäßig grausige - Gleichheit.
Und ja die Riemannsche-Zeta-Funktion (bzw. die zugehörige Vermutung) hat so ziemlich überall Anwendungen, auch in der Physik.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:26 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo MaslanyFanclub!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
In dem einen Video wird der Beweis mittels jonglieren der Reihen
1-1+1-1+1-1+1-1+.... = 1/2 (?!)
1-2+3-4+5-6+7.... = 1/4 (?!)
geführt.
> Hallo,
>
> ich hab' den Beweis im Video nicht gesehen, der Hintergund
> ist aber mit ziemlicher Sicherheit folgender:
> Die Reihe [mm]\zeta(s) ;= \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}[/mm]
> konvergiert für alle komplexen s mit Re(s)>1.
> Man kann sie allerdings mit Mitteln der Funktionentheorie
> eindeutig in der komplexen Ebene fortsetzen.
> Diese Fortsetzung nennt man Riemannsche Zeta-Funktion
> https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_%CE%B6-Funktion
> .
Ja, in einem weiteren Video wird die Sache mit der Riemannschen Zeta-Funktion erklärt.
> Diese ist bei -1 definiert.
> Setzt man nun - natürlich illegalerweise, aber sowas
> hält insbesondere Physiker nicht wirklich ab - die
> Zeta-Funktion mit der Reihe auch an Stellen gleich, an
> denen die reihe nicht definiert ist (wie -1), so ergibt
> sich [mm]\zeta(-1) := \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{-1}}= \sum_{n=1}^\infty n[/mm]
> und es ist [mm]\zeta (-1)= \frac{-1}{12}[/mm] damit ergibt sich die
> behauptete - aber wie gesagt, notationsmäßig grausige -
> Gleichheit.
>
>
> Und ja die Riemannsche-Zeta-Funktion (bzw. die zugehörige
> Vermutung) hat so ziemlich überall Anwendungen, auch in
> der Physik.
Ich gebe zu, ich bin gerade etwas faul und habe noch nicht nach physikalischen Anwendungen gesucht, aber mir kommt es immer noch spanisch vor, wie das gehen soll bzw. wo dies Anwendung findet.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
Die ganze Rechnung ist motiviert durch den Ring der $2$-adischen ganzen Zahlen. Im Quotientenkörper [mm] $\IQ_2$ [/mm] stimmt die Gleichheit.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mi 22.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> Die ganze Rechnung ist motiviert durch den
> Ring der [mm]2[/mm]-adischen ganzen Zahlen.
> Im Quotientenkörper [mm]\IQ_2[/mm] stimmt die Gleichheit.
bist du dir da sicher? Schliesslich ist [mm] $\IZ_2$ [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge (bzgl. der 2-adischen Topologie) von [mm] $\IQ_2$, [/mm] weshalb die Gleichheit bereits in [mm] $\IZ_2$ [/mm] stimmen muesste. Dort liegt [mm] $-\tfrac{1}{12}$ [/mm] aber nicht drinnen. (Und dort drinnen konvergiert das ganze auch nicht, schliesslich muesste die Folge der Partialsummen dann modulo [mm] $2^k$ [/mm] irgendwann konstant werden fuer ein festes $k$. Fuer $k = 1$ alterniert sie aber schon immer zwischen 0 und 1.)
LG Felix
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hier ist das 2. Video:
https://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk
kann man 1-2+3-4+5... einen Wert zuordnen ohne Hokuspokus?
"astounding" :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Sa 18.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> hier ist das 2. Video:
> https://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk
Das habe ich mir nicht angeschaut.
> kann man 1-2+3-4+5... einen Wert zuordnen ohne Hokuspokus?
Die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}n$ [/mm] (die nichts anderes als die Folge [mm] $(1,-1,2,-2,3,-3,\ldots)$ [/mm] darstellt) divergiert.
Begründung 1: Würde die Reihe konvergieren, so müsste [mm] $((-1)^{n+1}n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge bilden, was jedoch nicht der Fall ist.
Begründung 2: Würde die Reihe d.h. die Folge [mm] $(1,-1,2,-2,3,-3,\ldots)$ [/mm] konvergent, so wäre sie insbesondere beschränkt, was jedoch nicht der Fall ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Sa 18.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Was ich mich inzwischen frage:
Ist es möglich, zu beweisen, dass, wenn man die Divergenz ignoriert, es möglich ist, diese Summen mit jeder beliebigen Zahl gleich zu setzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:23 So 19.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo chrisno!
> Was ich mich inzwischen frage:
> Ist es möglich, zu beweisen, dass, wenn man die Divergenz
> ignoriert, es möglich ist, diese Summen mit jeder
> beliebigen Zahl gleich zu setzen?
Dazu wäre zunächst zu definieren, was es für eine Reihe und eine reelle Zahl heißen soll, dass "es möglich ist, die Reihe mit der Zahl gleich zu setzen".
Viele Grüße
Tobias
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