Summe/Integral Gammafunktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Fr 25.04.2014 | | Autor: | ralpho |
| Aufgabe | Zeigen sie:
[mm]\int_0^{\infty} \frac{t^{a-1}}{e^{bt}-1}dt = \frac{\Gamma(a)}{b^a}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^a} [/mm] |
Hi,
Ich versuche gerade obige Identität zu zeigen.
Durch google bin ich auf die Riemann-Zeta FUnktion gestoßen, die jedoch bei uns so nie vorkam, deshalb möchte ich diese außenvorlassen.
Ich habe mit dem Integralausdruck begonnen:
[mm]\int_0^{\infty} \frac{t^{a-1}}{e^{bt}-1}dt = \int_0^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} t^{a-1} e^{btn} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\infty} t^{a-1} e^{btn} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\infty}t^{a-1} e^{-t} e^{btn+t} dt[/mm]
Nun habe ich hier zwar im ersten Teil des Integrals die Integraldarstellung der Gammafunktion, leider weiß ich aber nicht wie ich hier weiterrechnen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke
Ralph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Zeigen sie:
> [mm]\int_0^{\infty} \frac{t^{a-1}}{e^{bt}-1}dt = \frac{\Gamma(a)}{b^a}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^a}[/mm]
>
Ich nehme an a und b sind positive reelle Zahlen? Falls b negativ ist muss man die Formel vermutlich ein wenig modifizieren.
> Hi,
> Ich versuche gerade obige Identität zu zeigen.
> Durch google bin ich auf die Riemann-Zeta FUnktion
> gestoßen, die jedoch bei uns so nie vorkam, deshalb
> möchte ich diese außenvorlassen.
>
> Ich habe mit dem Integralausdruck begonnen:
> [mm]\int_0^{\infty} \frac{t^{a-1}}{e^{bt}-1}dt = \int_0^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} t^{a-1} e^{btn} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\infty} t^{a-1} e^{btn} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\infty}t^{a-1} e^{-t} e^{btn+t} dt[/mm]
>
Die Idee mit der geometrischen Reihe ist natürlich richtig. Falls b negativ ist geht das so, aber du bekämst noch ein Minuszeichen. Außerdem musst du natürlich begründen wieso du den Limes aus dem Integral ziehen darfst.
Ist b positiv erhälst du
[mm]\frac{t^{a-1}}{e^{bt}-1}= \frac{t^{a-1}e^{-bt}}{1-e^{-bt}}= \sum_{n=0}^{\infty}t^{a-1}e^{-b(n+1)t}[/mm]
Eine einfache Substitution führt jetzt zum Ziel.
Viele Grüße,
Berieux
> Nun habe ich hier zwar im ersten Teil des Integrals die
> Integraldarstellung der Gammafunktion, leider weiß ich
> aber nicht wie ich hier weiterrechnen soll. Kann mir jemand
> einen Tipp geben?
>
> Danke
> Ralph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 So 27.04.2014 | | Autor: | ralpho |
Danke für den Tipp! Meine erste Umformung war ja schon falsch...
Der Vollständigkeit halber die Lösung:
[mm]\int_0^{\infty} \frac{t^{a-1}}{e^{bt}-1}=\int_0^{\infty} \frac{t^{a-1}e^{-bt}}{1-e^{-bt}}=\int_0^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}t^{a-1}e^{-b(n+1)t} = \sum_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{a-1}}{(b(n+1))^{a-1}}e^{-x} \frac{1}{b(n+1)} dx = \frac{\Gamma(a)}{b^a}\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^a}[/mm]
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