Summe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Berechne die SUmme
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n*(n+1)} [/mm] |
Für |z| < 1 konvergiert die Reihe,habe ich geprüft. Jetzt will ich sie als SUmme darstellen. Lässt sich da was drehen und wenden mit der geoemtrischen Reihe?
[mm] \sum_{n=0}^\infty x^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-x}
[/mm]
Hab herumprobiert, komme aber nicht auf eine Darstellung.
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] $ =$ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+2}}{(n+1)\cdot{}(n+2)} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 So 22.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Berechne die SUmme
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n*(n+1)}[/mm]
> Für |z| < 1
> konvergiert die Reihe,habe ich geprüft. Jetzt will ich sie
> als SUmme darstellen. Lässt sich da was drehen und wenden
> mit der geoemtrischen Reihe?
> [mm]\sum_{n=0}^\infty x^n[/mm] = [mm]\frac{1}{1-x}[/mm]
> Hab herumprobiert, komme aber nicht auf eine Darstellung.
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)}[/mm] =[mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+2}}{(n+1)\cdot{}(n+2)}[/mm]
Hallo,
Es gilt [mm]\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]. Versuche mal, ob da über eine Teleskopsumme etwas läuft.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich hätte eine Frage noch dazu:
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{z^{n+1}}{n}-\bruch{z^{n+1}}{n+1}
[/mm]
Aber mit dem [mm] z^{n+1} [/mm] stimmt ja das nicht ganz überein, dass ich jetzt nur das erste Glied- dem letzten Glied nehmen könnte.
Oder darf ich dass nicht so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 22.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> Ich hätte eine Frage noch dazu:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \bruch{z^{n+1}}{n}-\bruch{z^{n+1}}{n+1}[/mm]
>
> Aber mit dem [mm]z^{n+1}[/mm] stimmt ja das nicht ganz überein,
> dass ich jetzt nur das erste Glied- dem letzten Glied
> nehmen könnte.
> Oder darf ich dass nicht so machen?
Hallo,
du müsstest die ersten 10 bis 12 Glieder aufschreiben, Terme mit gleichem Nenner Zusammenfassen, ein wenig ausklammern usw.
Es scheint aber wesentlich einfacher zu gehen.
Denke dir deine Summe [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)}[/mm] mal als Funktion [mm]f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)}[/mm] .
Dann gilt für die erste Ableitung [mm]f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)z^{n}}{n\cdot{}(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n}}{n}[/mm], und die zweite Ableitung ist [mm]f''(z)=\sum_{n=1}^\infty {z^{n-1}}=\sum_{n=0}^\infty {z^{n}}[/mm].
Wenn du es schaffst, letzterem Term eine bekannte elementare Funktion zuzuordnen, musstest du mit zweimaligem Integrieren davon dem Ziel sehr nahe kommen...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
Danke für den Tipp,der ist GOLD wert!
> Dann gilt für die erste Ableitung $ [mm] f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)z^{n}}{n\cdot{}(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n}}{n} [/mm] $, und die zweite Ableitung ist $ [mm] f''(z)=\sum_{n=1}^\infty {z^{n-1}}=\sum_{n=0}^\infty {z^{n}} [/mm] $.
[mm] \sum_{n=0}^\infty {z^{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-z}
[/mm]
[mm] \int \frac{1}{1-z}dz= [/mm] -ln(1-z)
[mm] \int [/mm] - ln(1-z) dz =-z*ln(1-z)+ln(z-1)+z
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 22.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke für den Tipp,der ist GOLD wert!
>
> > Dann gilt für die erste Ableitung [mm]f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)z^{n}}{n\cdot{}(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n}}{n} [/mm],
> und die zweite Ableitung ist [mm]f''(z)=\sum_{n=1}^\infty {z^{n-1}}=\sum_{n=0}^\infty {z^{n}} [/mm].
> [mm]\sum_{n=0}^\infty {z^{n}}[/mm] = [mm]\frac{1}{1-z}[/mm]
> [mm]\int \frac{1}{1-z}dz=[/mm] -ln(1-z)
> [mm]\int[/mm] - ln(1-z) dz =-z*ln(1-z)+ln(z-1)+z
Hallo,
ich weiß auf die Schnelle nicht so genau, ob das hier von Bedeutung ist: Bei dieser Intergration entsteht ja jeweils eine Integrationskonstante C. In der ersten Integration ist das nur so ein Summand c1, nach der zweiten Integration wird daraus c1*x (plus neue Konstante c2).
Schau auch nochmal auf den Zahlenbereich, ob du bei den Stammfunktionen die Betragsstriche weglassen kannst. Es müsste ja normalerweise ln(|1-z|) sein
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
Ja die Betragsstriche muss man sich noch dazu denken.^^
die Konstanten soll ich dann noch dazu schreiben?
Also war der Weg doch nicht der beste?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 So 22.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Ja die Betragsstriche muss man sich noch dazu denken.^^
>
> die Konstanten soll ich dann noch dazu schreiben?
Nein, du musst herausfinden, welche konkreten Werte diese beiden Konstanten annehmen.
Da z.B. an der Stelle z=0 alle Summanden 0 werden, muss auch [mm] c_2 [/mm] so gewählt werden, dass deine gefundene Funktion dort auch den Wert 0 annimmt.
Gruß Abakus
> Also war der Weg doch nicht der beste?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 22.04.2012 | | Autor: | sissile |
Ich versteh das nicht ganz, wie kann ich diese Konstanten bestimmen?
Kannst du mir das nochmals erklären?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kennst die Summe für z=1 (Teleskop) und für z=0
damit liegen die 2 konstanten fest, wenn du das in die Endsumme mit c2 und c1*z z einsetzt .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 23.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
> summe für z=1 (Teleskop)
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n - [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] = 1- [mm] lim_{n->\infty } \frac{1}{n+1} [/mm] =1
> und für z=0
ist die Summe 0
Wieso sind genau die zwei meine Konstanten?
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty n^2 [/mm] $ * $ [mm] z^{n} [/mm] $=(1-z)*ln(1-z)-1+z
+ Konstante 0 und + Konstante 1*z
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
ich versth nicht was du machst- setze in deine Formel mit c1 und c2 z=0 ein. dann muss 0 rauskommen.
dann setze in deine formel z=1 ein dann muss 1 rauskommen. da die formel für all z gelten muss auch für die 2- dann hast du 2 gleichungen mit den unbekannten c1 und c2
daraus bestimmst du sie
warum du 0 und 1 nimmst? wel du da die summe kennst. wenn du sie für 0.5 wüsstest würdest du das einsetzen.
Irgendwie musst du Hilfen genauer lesen. da stand sicher nirgends , dass der Wert der Summe bei 1 und 0 die Konstanten sind!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 23.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal.
Es fangt schon mit deinem ersten Satz an:
> setze in deine Formel mit c1 und c2 z=0 ein.
Welche Formel mit [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] ?
Ich hab nur die Reihe:
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] $
und die nicht fertige Summendarstellung.
Wenn du mir sagst, was du damit meinst, dann könnte ich es sicher ;)
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 23.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo nochmal.
>
> Es fangt schon mit deinem ersten Satz an:
> > setze in deine Formel mit c1 und c2 z=0 ein.
> Welche Formel mit [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] ?
> Ich hab nur die Reihe:
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n+1}}{n\cdot{}(n+1)}[/mm]
> und die
> nicht fertige Summendarstellung.
>
> Wenn du mir sagst, was du damit meinst, dann könnte ich es
> sicher ;)
> liebe grüße
Hallo,
du hast nach zweimaligem Integrieren als Lösung
-z*ln(|1-z|)+ln(|z-1|)+z
herausbekommen.
Wir haben dich mit vereinten Kräften darauf aufmerksam gemacht, dass du die Integrationskonstante vergessen hast und die Lösung eigentlich die Form
[mm] -z*ln(1-z)+ln(z-1)+z+$c_1$*x+$c_2$ [/mm] haben muss.
Nun musst du noch die richtigen Konstanten finden, damit dieser Term FÜR JEDES z den selben Wert liefert wie deine unendliche Summe.
Es ist nun nicht für jedes z möglich, diese Summe ohne Aufwand zu berechnen, aber für z=0 und für z=1 scheint es leicht möglich zu sein.
Bereits diese beiden Untersuchungen bestimmen die beiden Konstanten eindeutig.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 23.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, ich versuche nochmal das umzusetzten, was du mir gesagt hat.
> -z*ln(|1-z|)+ln(|z-1|)+z
> Es ist nun nicht für jedes z möglich, diese Summe ohne Aufwand zu berechnen, aber für z=0 und für z=1 scheint es leicht möglich zu sein.
z=0
Summe ausrechnen
Also setzte ich in de Summe ein
-0*ln(|1-0|)+ln(|0-1|)+0+$ [mm] c_1 [/mm] $*x+$ [mm] c_2 [/mm] $
=ln(1)+$ [mm] c_1 [/mm] $*x+$ [mm] c_2 [/mm] $
z=1
Summe ausrechnen
Also setzte ich in de Summe ein
-1*ln(|1-1|)+ln(|1-1|)+1+$ [mm] c_1 [/mm] $*x+$ [mm] c_2 [/mm] $
-ln(0)+ln(2)+1=-ln(0)+ln(0)+1+$ [mm] c_1 [/mm] $*x+$ [mm] c_2 [/mm] $= nicht definiert
mhm.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 24.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich versuche nochmal das umzusetzten, was du mir
> gesagt hat.
>
> > -z*ln(|1-z|)+ln(|z-1|)+z
> > Es ist nun nicht für jedes z möglich, diese Summe ohne
> Aufwand zu berechnen, aber für z=0 und für z=1 scheint es
> leicht möglich zu sein.
>
> z=0
> Summe ausrechnen
> Also setzte ich in de Summe ein
> -0*ln(|1-0|)+ln(|0-1|)+0+[mm] c_1 [/mm]*x+[mm] c_2[/mm]
> =ln(1)+[mm] c_1 [/mm]*x+[mm] c_2[/mm]
>
> z=1
> Summe ausrechnen
> Also setzte ich in de Summe ein
> -1*ln(|1-1|)+ln(|1-1|)+1+[mm] c_1 [/mm]*x+[mm] c_2[/mm]
>
> -ln(0)+ln(2)+1=-ln(0)+ln(0)+1+[mm] c_1 [/mm]*x+[mm] c_2 [/mm]= nicht
> definiert
>
> mhm.
Hallo,
im Prinzip hast du Recht. Das geht eigentlich nicht, weil ln(0) nicht definiert ist. Der vorderen Teil ist (-1)*ln 0 +1*ln 0, was sich zu Null aufhebt (wenn der ln 0 definiert wäre).
Der Restterm ist [mm] 1+c_1*x+c_2, [/mm] wegen der Annahme x=1 also [mm] 1+c_1+c_2.
[/mm]
Wir wissen bereits, dass [mm] c_2 [/mm] Null ist (aus der Betrachtung von z(0).
Jetzt muss [mm] c_1 [/mm] so bestimmt werden, dass [mm] 1+c_1 [/mm] den Wert von z(1) annimmt.
Um das Dilemma mit dem nicht definierten ln 0 zu umgehen, könnte man auch die Stelle z=-1 nehmen, wo der Reihenwert mit etwas mehr Aufwand wohl auch ermittelbar ist.
Gruß Abakus
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