Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag,
Stimmt folgendes?
Nach Archimedisch existiert für alle [mm] x\in\IR [/mm] ein [mm] M\in\IN [/mm] mit x<M
gilt dann auch das hier? Wenn [mm] a_n [/mm] eine reelle Folge positiver Zahlen ist dann existiert nach Archimedischem Axiom ein [mm] $M\in\IN$ [/mm] so dass [mm] \summe_{n=1}^{k}a_n
Die Summe ist doch endlich und wir addieren immer etwas postives dazu. Das Ergebnis müsste eine reelle Zahl sein und dazu finden wir ein [mm] M\in\IN [/mm] so dass .... richtig?
Danke!
LG, Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Ladon |
Ja, du hast Recht. Die endliche Summe positiver reeller Zahlen ist endlich. Also existiert ein [mm] M\in\IN, [/mm] s.d. [mm] $\sum_{i=1}^na_i\le [/mm] M$. Natürlich kannst du auch mit dem Archimedischen Axiom für angeordnete Körper, wie [mm] \IR [/mm] einer ist, in folgender Weise argumentieren. Man muss sich klar machen (evtl. induktiv), dass die endliche Summe positiver reeller Zahlen wieder eine positive reelle Zahl < [mm] \infty [/mm] gibt. Wenn du das gezeigt hast, setze [mm] $\sum_{i=1}^na_i=:c\in\IR_{>0}$ [/mm] (eigentlich reicht es schon zu zg., dass [mm] \sum_{i=1}^na_i=:c\in\IR). [/mm] Mit Archimedes [mm] (\forall c\in\IR\exists n\in\IN:n-a>0) [/mm] kannst du nun das behauptete folgern. Falls du eine geometrische oder arithmetische Summenformel hast, kannst du sogar die Summe explizit und einfach berechnen.
MFG Ladon
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Hallo,
Danke für deine Antwort!!!!
> Ja, du hast Recht. Die endliche Summe positiver reeller
> Zahlen ist endlich. Also existiert ein [mm]M\in\IN,[/mm] s.d.
> [mm]\sum_{i=1}^na_i\le M[/mm]. Natürlich kannst du auch mit dem
> Archimedischen Axiom für angeordnete Körper, wie [mm]\IR[/mm]
> einer ist, in folgender Weise argumentieren. Man muss sich
> klar machen (evtl. induktiv), dass die endliche Summe
> positiver reeller Zahlen wieder eine positive reelle Zahl <
> [mm]\infty[/mm] gibt. Wenn du das gezeigt hast, setze
> [mm]\sum_{i=1}^na_i=:c\in\IR_{>0}[/mm] (eigentlich reicht es schon
> zu zg., dass [mm]\sum_{i=1}^na_i=:c\in\IR).[/mm]
Das ist einleuchtend. Es gibt für alle [mm] a_i [/mm] mit [mm] i\in\IN [/mm] ein [mm] M_i [/mm] mit [mm] i\in\IN [/mm] so dass [mm] a_i
> Mit Archimedes
> [mm](\forall c\in\IR\exists n\in\IN:n-a>0)[/mm] kannst du nun das
n-c>0 also n>c oder?
> behauptete folgern. Falls du eine geometrische oder
> arithmetische Summenformel hast, kannst du sogar die Summe
> explizit und einfach berechnen.
>
> MFG Ladon
Was würde passieren, wenn ich für n einen Grenzübergang hätte?
Also wieder [mm] a_k [/mm] folge positiver reeller zahlen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
[/mm]
Existiert hier auch nach Archimedisch ein [mm] M\in\IN [/mm] so dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
tut mir leid wenn ich es mathematisch nicht korrekt formuliere. Bin noch nicht so weit!
LG, Björn
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Hallo Björn,
> > Ja, du hast Recht. Die endliche Summe positiver reeller
> > Zahlen ist endlich. Also existiert ein [mm]M\in\IN,[/mm] s.d.
> > [mm]\sum_{i=1}^na_i\le M[/mm]. Natürlich kannst du auch mit dem
> > Archimedischen Axiom für angeordnete Körper, wie [mm]\IR[/mm]
>
> > einer ist, in folgender Weise argumentieren. Man muss sich
> > klar machen (evtl. induktiv), dass die endliche Summe
> > positiver reeller Zahlen wieder eine positive reelle Zahl <
> > [mm]\infty[/mm] gibt. Wenn du das gezeigt hast, setze
> > [mm]\sum_{i=1}^na_i=:c\in\IR_{>0}[/mm] (eigentlich reicht es schon
> > zu zg., dass [mm]\sum_{i=1}^na_i=:c\in\IR).[/mm]
> Das ist einleuchtend. Es gibt für alle [mm]a_i[/mm] mit [mm]i\in\IN[/mm] ein
> [mm]M_i[/mm] mit [mm]i\in\IN[/mm] so dass [mm]a_i
> die Behauptung, da wir nur noch die [mm]M_i[/mm] addieren müssen.
> und [mm]M_1+...,M_n[/mm] ist aus [mm]\IN.[/mm]
> > Mit Archimedes
> > [mm](\forall c\in\IR\exists n\in\IN:n-a>0)[/mm] kannst du nun das
> n-c>0 also n>c oder?
Ja, klar.
> > behauptete folgern. Falls du eine geometrische oder
> > arithmetische Summenformel hast, kannst du sogar die Summe
> > explizit und einfach berechnen.
> >
> > MFG Ladon
>
> Was würde passieren, wenn ich für n einen Grenzübergang
> hätte?
>
> Also wieder [mm]a_k[/mm] folge positiver reeller zahlen
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm]
>
> Existiert hier auch nach Archimedisch ein [mm]M\in\IN[/mm] so dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
Nein, das folgt nicht. Betrachte doch mal die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n=\wurzel{n}.
[/mm]
Alles klar?
Grüße
reverend
> tut mir leid wenn ich es mathematisch nicht korrekt
> formuliere. Bin noch nicht so weit!
>
> LG, Björn
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Hallo reverend und danke für die schnelle Antwort!
> > Existiert hier auch nach Archimedisch ein [mm]M\in\IN[/mm] so dass
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
>
> Nein, das folgt nicht. Betrachte doch mal die Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=\wurzel{n}.[/mm]
>
> Alles klar?
Hmm....... Gibt es einen Grund, wieso du gerade die Wurzelfunktion genommen hast? Ich komme nicht darauf..
gilt denn folgendes?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k=\summe_{k=1}^{\infty}a_k
[/mm]
Anders rum gilt es ja nur wenn die Reihe konvergiert. Ich gehe nun den anderen Weg. Ich betrachte eine #Folge [mm] a_n [/mm] positiver reeller Zahlen. Die Frage wäre dann wohl ob die linke Seite irgendwie höchstens abzählbar ist richtig? denn endlich ist sie nicht durch den Grenzwert...
Danke für deine Hilfe!
LG Björn
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Hallo Björn,
> > > Existiert hier auch nach Archimedisch ein [mm]M\in\IN[/mm] so dass
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
> >
> > Nein, das folgt nicht. Betrachte doch mal die Folge
> > [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=\wurzel{n}.[/mm]
> >
> > Alles klar?
>
> Hmm....... Gibt es einen Grund, wieso du gerade die
> Wurzelfunktion genommen hast? Ich komme nicht darauf..
Natürlich: aus purer Hinterlist.
Immerhin liefert die Wurzelfunktion oft genug irrationale Zahlen, so dass die Frage nach dem archimedischen [mm] M\in\IN [/mm] Sinn macht.
Andererseits ist die Reihe nicht konvergent. Das hätte man natürlich auf viele andere Weisen erreichen können, z.B. mit [mm] a_n=\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] oder auch nur [mm] a_n=\bruch{1}{n}.
[/mm]
> gilt denn folgendes?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k=\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
>
> Anders rum gilt es ja nur wenn die Reihe konvergiert.
Das gilt immer. Es ist nur eine Erklärung für die Schreibweise der unendlichen Summe. Wenn der Grenzwert nicht existiert, macht auch die Summe keinen Sinn, deswegen ist auch Deine Bemerkung nicht falsch!
> Ich
> gehe nun den anderen Weg. Ich betrachte eine #Folge [mm]a_n[/mm]
> positiver reeller Zahlen. Die Frage wäre dann wohl ob die
> linke Seite irgendwie höchstens abzählbar ist richtig?
> denn endlich ist sie nicht durch den Grenzwert...
Selbst wenn sie abzählbar (unendlich!) ist, macht die Suche nach einem archimedischen M keinen Sinn mehr.
Das archimedische M zu einem [mm] x\in\IR [/mm] wird ja gemeinhin durch die "obere Gaußklammer" [mm] M=\leftceil{x}\rightceil [/mm] definiert, oder wenn man ein M>x (also echt größer) will, eben durch [mm] M=\leftfloor{x}\rightfloor.
[/mm]
Für [mm] x=\infty [/mm] ist aber beides nicht definiert.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
tut mir leid aber ich verstehe ein paar Dinge nicht....
>
> > > > Existiert hier auch nach Archimedisch ein [mm]M\in\IN[/mm] so dass
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
> > >
> > > Nein, das folgt nicht. Betrachte doch mal die Folge
> > > [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=\wurzel{n}.[/mm]
> > >
> > > Alles klar?
> >
> > Hmm....... Gibt es einen Grund, wieso du gerade die
> > Wurzelfunktion genommen hast? Ich komme nicht darauf..
>
> Natürlich: aus purer Hinterlist.
> Immerhin liefert die Wurzelfunktion oft genug irrationale
> Zahlen, so dass die Frage nach dem archimedischen [mm]M\in\IN[/mm]
> Sinn macht.
Die irrationalen Zahlen sind doch ein archimedisch angeordner Körper, wo liegt das Problem?
> Andererseits ist die Reihe nicht konvergent. Das hätte
> man natürlich auf viele andere Weisen erreichen können,
> z.B. mit [mm]a_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] oder auch nur
> [mm]a_n=\bruch{1}{n}.[/mm]
Das verstehe ich nicht. Wenn wirklich immer [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k=\summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] gilt, dann divergiert sowohl [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] als auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{n}, [/mm] denn wir erhalten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] divergent bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{n}=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] divergent
>
> > gilt denn folgendes?
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k=\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
> >
> > Anders rum gilt es ja nur wenn die Reihe konvergiert.
>
> Das gilt immer. Es ist nur eine Erklärung für die
> Schreibweise der unendlichen Summe. Wenn der Grenzwert
> nicht existiert, macht auch die Summe keinen Sinn, deswegen
> ist auch Deine Bemerkung nicht falsch!
>
> > Ich
> > gehe nun den anderen Weg. Ich betrachte eine #Folge [mm]a_n[/mm]
> > positiver reeller Zahlen. Die Frage wäre dann wohl ob die
> > linke Seite irgendwie höchstens abzählbar ist richtig?
> > denn endlich ist sie nicht durch den Grenzwert...
>
> Selbst wenn sie abzählbar (unendlich!) ist, macht die
> Suche nach einem archimedischen M keinen Sinn mehr.
> Das archimedische M zu einem [mm]x\in\IR[/mm] wird ja gemeinhin
> durch die "obere Gaußklammer" [mm]M=\leftceil{x}\rightceil[/mm]
> definiert, oder wenn man ein M>x (also echt größer) will,
> eben durch [mm]M=\leftfloor{x}\rightfloor.[/mm]
>
> Für [mm]x=\infty[/mm] ist aber beides nicht definiert.
>
Hmm.. ist denn folgendes richtig?
Es kann nur meine Behauptung gelten, wenn wir eine Folge über einen endlich archimedisch angeordneten Körper hätten und das kann es nicht geben.
"Alleine" über einer endlichen Menge wäre es dann aber langweilig 
> Grüße
> reverend
Danke Dir nochmal!
LG Björn
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Morgen, wieso ist meine Frage auf beantwortet gelandet?
Was habe ich falsch gemacht?
Lg bjoern
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> tut mir leid aber ich verstehe ein paar Dinge nicht....
>
> >
> > > > > Existiert hier auch nach Archimedisch ein [mm]M\in\IN[/mm] so dass
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k
> > > >
> > > > Nein, das folgt nicht. Betrachte doch mal die Folge
> > > > [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=\wurzel{n}.[/mm]
> > > >
> > > > Alles klar?
> > >
> > > Hmm....... Gibt es einen Grund, wieso du gerade die
> > > Wurzelfunktion genommen hast? Ich komme nicht darauf..
> >
> > Natürlich: aus purer Hinterlist.
> > Immerhin liefert die Wurzelfunktion oft genug
> irrationale
> > Zahlen, so dass die Frage nach dem archimedischen [mm]M\in\IN[/mm]
> > Sinn macht.
> Die irrationalen Zahlen sind doch ein archimedisch
> angeordner Körper,
Das ist doch Unfug ! Die Menge der irrationalen Zahlen ist doch mit der üblichen Addition und Multiplikation noch nicht einmal ein Körper !!!
FRED
> wo liegt das Problem?
>
> > Andererseits ist die Reihe nicht konvergent. Das hätte
> > man natürlich auf viele andere Weisen erreichen können,
> > z.B. mit [mm]a_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] oder auch nur
> > [mm]a_n=\bruch{1}{n}.[/mm]
> Das verstehe ich nicht. Wenn wirklich immer
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k=\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]
> gilt, dann divergiert sowohl
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm]
> als auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{n},[/mm]
> denn wir erhalten
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm]
> divergent bzw.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{n}=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
> divergent
> >
> > > gilt denn folgendes?
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_k=\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm]
> > >
> > > Anders rum gilt es ja nur wenn die Reihe konvergiert.
> >
> > Das gilt immer. Es ist nur eine Erklärung für die
> > Schreibweise der unendlichen Summe. Wenn der Grenzwert
> > nicht existiert, macht auch die Summe keinen Sinn, deswegen
> > ist auch Deine Bemerkung nicht falsch!
> >
> > > Ich
> > > gehe nun den anderen Weg. Ich betrachte eine #Folge [mm]a_n[/mm]
> > > positiver reeller Zahlen. Die Frage wäre dann wohl ob die
> > > linke Seite irgendwie höchstens abzählbar ist richtig?
> > > denn endlich ist sie nicht durch den Grenzwert...
> >
> > Selbst wenn sie abzählbar (unendlich!) ist, macht die
> > Suche nach einem archimedischen M keinen Sinn mehr.
> > Das archimedische M zu einem [mm]x\in\IR[/mm] wird ja gemeinhin
> > durch die "obere Gaußklammer" [mm]M=\leftceil{x}\rightceil[/mm]
> > definiert, oder wenn man ein M>x (also echt größer) will,
> > eben durch [mm]M=\leftfloor{x}\rightfloor.[/mm]
> >
> > Für [mm]x=\infty[/mm] ist aber beides nicht definiert.
> >
>
> Hmm.. ist denn folgendes richtig?
>
> Es kann nur meine Behauptung gelten, wenn wir eine Folge
> über einen endlich archimedisch angeordneten Körper
> hätten und das kann es nicht geben.
>
> "Alleine" über einer endlichen Menge wäre es dann aber
> langweilig
>
> > Grüße
> > reverend
>
> Danke Dir nochmal!
>
> LG Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Sa 25.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ladon,
> Natürlich kannst du auch mit dem Archimedischen Axiom für angeordnete Körper, wie [mm]\IR[/mm] einer ist, in folgender Weise argumentieren.
Hier musst du aufpassen!
Obwohl die archimedische Eigenschaft sehr "natürlich" vorkommt,
existieren nicht-archimedisch angeordnete Körper!
Gruß
DieAcht
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