Summatorische Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] $\frac{\Phi}{i}(n)$ [/mm] die summatorische Funktion von [mm] $\frac{\mu}{i}(n)$ [/mm] ist. |
Mit $i$ ist die identische Funktion gemeint.
Mit $e$ ist die konstante Einsfunktion gemeint.
Mit $d$ die Teiler.
Also ich weiss, dass ich zeigen muss:
[mm] \[(\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\frac{\Phi}{i}(n)\]
[/mm]
Ich beginne also:
[mm] \[(\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\sum_{d|n}\frac{\mu}{i}(n)\cdot e(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\frac{\mu}{i}(n)\]
[/mm]
Doch wie komme ich nun weiter?
Muss man die Multiplikativität auch nachweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mi 23.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass [mm]\frac{\Phi}{i}(n)[/mm] die summatorische
> Funktion von [mm]\frac{\mu}{i}(n)[/mm] ist.
Was genau ist [mm] $\Phi$?
[/mm]
> Mit [mm]i[/mm] ist die identische Funktion gemeint.
> Mit [mm]e[/mm] ist die konstante Einsfunktion gemeint.
> Mit [mm]d[/mm] die Teiler.
>
> Also ich weiss, dass ich zeigen muss:
>
> [mm]\[(\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\frac{\Phi}{i}(n)\][/mm]
>
> Ich beginne also:
>
> [mm]\[(\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\sum_{d|n}\frac{\mu}{i}(n)\cdot e(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\frac{\mu}{i}(n)\][/mm]
Das stimmt nicht ganz! Die Faltung ist [mm] $\sum_{d \mid n} \frac{\mu}{i}(d) e(\frac{n}{d})$ [/mm] und nicht [mm] $\sum_{d \mid n} \frac{\mu}{i}(n) e(\frac{n}{d})$. [/mm] Es bleibt also [mm] $\sum_{d\mid n} \frac{\mu}{i}(d)$ [/mm] uebrig.
> Doch wie komme ich nun weiter?
Haengt davon ab, was [mm] $\Phi$ [/mm] ist.
> Muss man die Multiplikativität auch nachweisen?
Die Faltung zweier multiplikativer Funktionen ist multiplikativ, womit $f(n) := [mm] \sum_{d\mid n} \frac{\mu}{i}(d)$ [/mm] multiplikativ ist. Damit also $f(n) = [mm] \frac{\Phi}{i}(n)$ [/mm] ist fuer alle $n$, reicht es dies fuer Primzahlpotenzen $n = [mm] p^k$ [/mm] nachzupruefen. (Man kann [mm] $f(p^k)$ [/mm] sehr einfach ausrechnen und weiss damit auch, wie $f(n)$ aussieht, wenn $n = [mm] \prod_{i=1}^t p_i^{k_i}$ [/mm] ist.)
LG Felix
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Was genau ist $ [mm] \Phi [/mm] $?
Damit ist die eulersche [mm] $\Phi$-Funktion [/mm] gemeint.
Den Fehler mit der Faltung habe ich auch schon entdeckt.
Die Multiplikativität habe ich auch nachgewiesen.
Nun bin ich also soweit:
Es gilt nun noch zu zeigen: [mm] $(\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\frac{\Phi}{i}(n)$
[/mm]
[mm] \[\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\cdot e\left(\frac n d\right)=\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\stackrel{\text{Def 10}}{=}\frac\Phi i(n)\]
[/mm]
Also ist [mm] $\frac\Phi [/mm] i(n)$ die summatorische Funktion von [mm] $\frac{\mu}{i}(n)$.
[/mm]
Anmerkung:
Definition 10:
Ist [mm] $f\colon N\rightarrow [/mm] Q eine zahlentheoretische Funktion, so heisst die durch
[mm] \[F(n):=\sum_{d|n}f(d)\quad n\in N\]
[/mm]
gegebene zahlentheoretische Funktion [mm] $F\colon N\rightarrow [/mm] Q$ die Summatorfunktion von $f$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mi 23.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Was genau ist [mm]\Phi [/mm]?
>
> Damit ist die eulersche [mm]\Phi[/mm]-Funktion gemeint.
Die schreibt man normalerweise als [mm] $\varphi$.
[/mm]
> Den Fehler mit der Faltung habe ich auch schon entdeckt.
Ok.
> Die Multiplikativität habe ich auch nachgewiesen.
Brauchst du nicht, das ist eine Eigenschaft der Faltung.
> Nun bin ich also soweit:
>
> Es gilt nun noch zu zeigen: [mm](\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\frac{\Phi}{i}(n)[/mm]
>
> [mm] \[\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\cdot e\left(\frac n d\right)=\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\stackrel{\text{Def 10}}{=}\frac\Phi i(n)\][/mm]
Der letzte Schritt ist Quark: die Definition sagt nur, dass [mm] $\sum_{d\mid n} \frac{\mu}{i}(d)$ [/mm] die summatorische Funktion von [mm] $\frac{\mu}{i}$ [/mm] ist. Dass diese gleich [mm] $\frac{\Phi}{i}$ [/mm] ist musst du doch noch zeigen!
> Also ist [mm]\frac\Phi i(n)[/mm] die summatorische Funktion von
> [mm]\frac{\mu}{i}(n)[/mm].
Das willst du zeigen! Bisher hast du es nicht.
LG Felix
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> Moin!
>
> > > Was genau ist [mm]\Phi [/mm]?
> >
> > Damit ist die eulersche [mm]\Phi[/mm]-Funktion gemeint.
>
Reine Definitionssache. 
> Die schreibt man normalerweise als [mm]\varphi[/mm].
>
> > Den Fehler mit der Faltung habe ich auch schon entdeckt.
>
> Ok.
>
> > Die Multiplikativität habe ich auch nachgewiesen.
>
> Brauchst du nicht, das ist eine Eigenschaft der Faltung.
>
> > Nun bin ich also soweit:
> >
> > Es gilt nun noch zu zeigen: [mm](\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\frac{\Phi}{i}(n)[/mm]
>
> >
> > [mm] \[\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\cdot e\left(\frac n d\right)=\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\stackrel{\text{Def 10}}{=}\frac\Phi i(n)\][/mm]
>
> Der letzte Schritt ist Quark: die Definition sagt nur, dass
> [mm]\sum_{d\mid n} \frac{\mu}{i}(d)[/mm] die summatorische Funktion
> von [mm]\frac{\mu}{i}[/mm] ist. Dass diese gleich [mm]\frac{\Phi}{i}[/mm] ist
> musst du doch noch zeigen!
Das ist ja mein Problem! Wie komme ich denn dorthin? Rein argumentativ oder mit Hilfe bespw. möbiusscher Umkehrsatz,etc.?
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 23.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Nun bin ich also soweit:
> > >
> > > Es gilt nun noch zu zeigen: [mm](\frac{\mu}{i}\ast e)(n)=\frac{\Phi}{i}(n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm] \[\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\cdot e\left(\frac n d\right)=\sum_{d|n}\frac\mu i(d)\stackrel{\text{Def 10}}{=}\frac\Phi i(n)\][/mm]
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> >
> > Der letzte Schritt ist Quark: die Definition sagt nur, dass
> > [mm]\sum_{d\mid n} \frac{\mu}{i}(d)[/mm] die summatorische Funktion
> > von [mm]\frac{\mu}{i}[/mm] ist. Dass diese gleich [mm]\frac{\Phi}{i}[/mm] ist
> > musst du doch noch zeigen!
>
> Das ist ja mein Problem! Wie komme ich denn dorthin? Rein
> argumentativ oder mit Hilfe bespw. möbiusscher
> Umkehrsatz,etc.?
Wie schon gesagt: bei beiden $n = [mm] p^k$ [/mm] einsetzen und explizit ausrechnen. Kommt etwas sehr einfaches heraus.
Und wenn es fuer Primzahlpotenzen uebereinstimmt und multiplikativ ist, dann stimmt es schon fuer alle $n$ ueberein.
LG Felix
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