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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 So 13.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
| Aufgabe | Guten Tag ,
habe Probleme bei folgender Aufgabe :
Gegeben sei die Funktion
F(x) = [mm] x^4- 3x^3-15x^2 [/mm] + 19x + 30
= (x + 3)(x + 1)(x-2)(x - 5).
Geben Sie die Ableitung F'(x) an und berechnen Sie ausgehend vom Punkt x(0) = 0 zwei Schritte
des lokalen Newton-Verfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion F. Geben Sie zudem
jeweils die Suchrichtung s(k) für k = 0, 1 an. Geben Sie zudem an, welche Nullstelle von F
approximiert wird.
F'(X) = ?
s^(0) = ...
s^(1) = ....
x^(1) =.....
x^(2)=.....
Nullstellen ?
Nullstellen habe ich :
[mm] x_1 [/mm] = -3 , [mm] x_2 [/mm] =-1
[mm] x_3 [/mm] = 2 , [mm] x_4 [/mm] =5
[latex] F'(x) = [mm] 4x^3 -9x^2-30x [/mm] +19 [/latex]
Wisst ihr wie ich die anderen Parameter berechnen kann? |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 So 13.03.2022 | | Autor: | fred97 |
Hallo Nash,
leider sagst du nicht, wo deine Probleme liegen.
Die Ableitung von F wirst du doch bestimmen können. Damit schreibe mal die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens auf. Denn sehen wir weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 13.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Ich verstehe nicht wie ich auf das [mm] s^1 [/mm] kommen soll?
Ich glaube das man [mm] s^0 [/mm] so berechnet :
[mm] s^0 [/mm] = - F(0)/F`(0) = -30/19
Aber wie berechne ich das [mm] s^1 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 13.03.2022 | | Autor: | statler |
Hallo!
Ich würde den Index unten hinschreiben, weil das sonst wie eine Potenz aussieht.
> Ich verstehe nicht wie ich auf das [mm]s^1[/mm] kommen soll?
Leider weiß ich nicht, ob die Suchrichtung bei euch eine Zahl ist (wie du anscheinend glaubst) oder wirklich nur eine Richtung auf der x-Achse, also vorwärts = + oder rückwärts = -. Du gehst offenbar im 1. Schritt von [mm] x_0 [/mm] = 0 nach [mm] x_1 [/mm] = 0 - (-30/19) = 30/19, also vorwärts in die positive Richtung.
Korrektur: Ich habe mich verheddert, es muß natürlich [mm] x_0 [/mm] = 0 - 30/19 = -30/19 heißen, also geht der 1. Schritt in die negative Richtung.
Jetzt müßtest du mal [mm] x_2 [/mm] = ?? berechnen, dann würdest du auch nebenbei die Suchrichtung erkennen.
>
> Ich glaube das man [mm]s^0[/mm] so berechnet :
>
> [mm]s^0[/mm] = - F(0)/F'(0) = -30/19
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 13.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Wie soll ich [mm] x_2 [/mm] berechnen ?
Ich weiss nicht wie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 13.03.2022 | | Autor: | fred97 |
> Wie soll ich [mm]x_2[/mm] berechnen ?
> Ich weiss nicht wie
Nochmal: wie lautet die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens?
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Da du schon beim Bilden der Ableitung Probleme hast und leider deinen Status nicht angegeben hast, gehe ich mal davon aus, dass du noch Oberstufenschüler bist und erkläre auf diesem Niveau.
Du startest mit einem "beliebigen" x-Wert, hier x=0. Daraus errechnest du mit der Newton-Formel einen neuen x-Wert, der - falls alles gut geht - näher an der gesuchten Nullstelle als der alte liegt:
[mm] x_{neu}= x_{alt} [/mm] - [mm] \bruch{F(x_{alt})}{F'(x_{alt})}, [/mm]
hier also [mm] x_{neu}= [/mm] 0 - [mm] \bruch{F(0)}{F'(0)} [/mm] = 0 - 30/9 = -30/9.
Das ist nun im nächsten Schritt dein "neues" [mm] x_{alt}, [/mm] das du nun wieder in die Formel einsetzt und damit der Nullstelle - hoffentlich - wieder ein Stück näher kommst:
[mm] x_{neu}= [/mm] -30/9 - [mm] \bruch{F(-30/9)}{F'(-30/9)} [/mm] = ...
Den Wert setzt du wieder für [mm] x_{alt} [/mm] ein und bekommst das nächste [mm] x_{neu} [/mm] usw.
Die x-Werte magst du dann der Reihe nach mit [mm] x_0, x_1, x_2, [/mm] ... oder [mm] s_0, s_1, s_2, [/mm] ... bezeichnen.
Hier ein Beispiel zur Wurzelberechnung. Woher kennt dein Rechner [mm] \wurzel{5}? [/mm] Den Wert kennt er gar nicht, er kann gar nicht Wurzelziehen! Er löst die Gleichung [mm] x^2-5=0 [/mm] mit dem Newton-Verfahren:
[mm] f(x)=x^2-5, [/mm] f'(x)=2x
[mm] x_{neu}= x_{alt} [/mm] - [mm] \bruch{x_{alt}^2-5}{2x_{alt}} [/mm] mit Startwert [mm] x_0=1 [/mm] und erhält so
[mm] x_0=1
[/mm]
[mm] x_1=1-\bruch{1^2-5}{2*1}=1-(-2)=3
[/mm]
[mm] x_2=3-\bruch{3^2-5}{2*3}=3-2/3=7/3\approx [/mm] 2,333333
[mm] x_3=7/3-\bruch{(7/3)^2-5}{2*7/3}=7/3-2/21=47/21\approx [/mm] 2,238095
[mm] x_4=47/21-\bruch{(47/21)^2-5}{2*47/21}=...=2207/987\approx [/mm] 2,23607
[mm] x_5 \approx [/mm] 2,236067978, und ab jetzt verändert sich der Wert nicht mehr.
Für größere Zahlen braucht man mehr Schritte oder einen besseren Startwert, aber je näher man der Wurzel kommt, um so schneller nimmt die Abweichung von der Lösung zu. Das kannst du oben schön erkennen: Bei den ersten beiden Werten stimmt nicht mal die erste Ziffer, dann eine, dann zwei, dann vier und zuletzt 8 Ziffern. Das nennt man quadratische Konvergenz.
Um die Wurzel aus einer anderen Zahl a zu ziehen, muss der Rechner nur die eine 5 durch die Zahl a ersetzen, alles andere bleibt gleich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 14.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Ja aber was ist dann der Unterschied zwischen [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] und [mm] S_0 [/mm] , [mm] s_1 [/mm] ?
Muss man die s nicht anders berechnen ?
In der Aufgabe ist es ja so angegeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 14.03.2022 | | Autor: | statler |
Da du hier neu bist, noch ein nachträgliches Willkommen.
> Ja aber was ist dann der Unterschied zwischen [mm]x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] und
> [mm]S_0[/mm] , [mm]s_1[/mm] ?
>
> Muss man die s nicht anders berechnen ?
> In der Aufgabe ist es ja so angegeben?
Die x'e liegen auf der x-Achse und nähern sich der gesuchten Nullstelle. Der Betrag der s'en gibt jedesmal den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden x'en an.
Wenn man so will, sind die x'e Punkte und die s'en Strecken.
In diesem Forum ist auch Eigenleistung gefragt, wir bieten Hilfe zur Selbsthilfe. Wenn dein eigener Beitrag nach unserer Einschätzung zu gering ausfällt, wirst du mit einer Gegenfrage oder einem Arbeitsauftrag konfrontiert.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 14.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
[mm] x_1 = - \bruch{30}{9} -\bruch{F(-30/9)}{F`(-30/9)}= -3.6 [/mm]
[mm] x_2 = - 3.6 -\bruch{F(-3.6)}{F`(-3.6)}= -3.17 [/mm]
Wie berechne ich jetzt [mm] s^0 [/mm] und [mm] s^1 [/mm] ?
Passen diese Werte oben ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 14.03.2022 | | Autor: | statler |
> [mm]x_1 = - \bruch{30}{9} -\bruch{F(-30/9)}{F'(-30/9)}= -3.6[/mm]
>
> [mm]x_2 = - 3.6 -\bruch{F(-3.6)}{F'(-3.6)}= -3.17[/mm]
>
>
> Wie berechne ich jetzt [mm]s^0[/mm] und [mm]s^1[/mm] ?
>
>
> Passen diese Werte oben ?
>
Nee, tun sie nicht!
Weil nämlich [mm] $x_{0} [/mm] = 0$ ist (war vorgegeben) und $F(0) = 30$ und $F'(0) = 19$ (so von dir selbst berechnet).
Damit ist [mm] $x_{1} [/mm] = 0 - [mm] \frac{30}{19} [/mm] = [mm] -\frac{30}{19} \approx [/mm] -1,579$
Weiter ist [mm] $x_{2} [/mm] = [mm] -\frac{30}{19} [/mm] - [mm] \frac{F(-30/19)}{F'(-30/19)} \approx [/mm] -0,892$
und dann noch [mm] x_3 \approx [/mm] -1,0005 und [mm] x_4 \approx [/mm] -1.
Die Änderungen der Suchrichtung hängen damit zusammen, daß die Nullstelle bei -1 auch ein Wendepunkt ist.
Soweit erstmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 14.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Stimmt blöd von mir .
Aber wie wird jetzt dieses [mm] s^0 [/mm] berechnet ?
Wie komme ich da drauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:40 Di 15.03.2022 | | Autor: | statler |
Vermutlich aus [mm] $x_{n+1} [/mm] := [mm] x_{n} [/mm] + [mm] s_{n}$
[/mm]
So interpretiere ich jedenfalls deinen Vorschlag für [mm] $s_{0}.$
[/mm]
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"Geben Sie zudem jeweils die Suchrichtung s(k) für k = 0, 1 an."
Da von einer Richtung die Rede ist, sollte es sich hier wirklich nur darum handeln, ob der nächste Punkt weiter "rechts" oder "links" vom vorhergehenden mit dem Index k liegt, der Wert also zu- oder abnimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Di 15.03.2022 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt blöd von mir .
>
> Aber wie wird jetzt dieses [mm]s^0[/mm] berechnet ?
> Wie komme ich da drauf?
Um es ganz klar zu sagen: [mm] $s_n=x_{n+1}-x_n$, [/mm] also [mm] $s_0=x_1-x_0$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Di 15.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Leute habe es mal jetzt ausgerechnet :
[mm] s_0 [/mm] = [mm] x_1 -x_0 [/mm] = -1,579 - 0 = -1,579
[mm] s_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = -0,892 - (-1,579 ) = 0,687
Passt das Ergebnis ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 15.03.2022 | | Autor: | fred97 |
> Leute habe es mal jetzt ausgerechnet :
>
> [mm]s_0[/mm] = [mm]x_1 -x_0[/mm] = -1,579 - 0 = -1,579
>
> [mm]s_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] - [mm]x_1[/mm] = -0,892 - (-1,579 ) = 0,687
>
>
> Passt das Ergebnis ?
Ja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Di 15.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Danke Leute für eure Geduld .
Ja uns wurde halt nix erklärt im Unterricht
Bin dankbar für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 15.03.2022 | | Autor: | statler |
> Danke Leute für eure Geduld .
Die haben wir in der Regel.
> Ja uns wurde halt nix erklärt im Unterricht
Ein Unterricht, in dem nix erklärt wird, ist kein Unterricht.
> Bin dankbar für eure Hilfe
Gern geschehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mo 14.03.2022 | | Autor: | statler |
F'(0) = 19
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> F'(0) = 19
Autsch! Danke, Schreibfehler, den ich dann kopiert habe.
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