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Hallo!
Ich brauche Hilfe beim Finden einer Stammfunktion.
Ich muss das Integral
[mm] \integral_{2}^{1}{x^{7}(logx)^{2} dx} [/mm] bestimmen.
Ich dachte hier an Substitution. Also setze ich u = logx und komme auf:
[mm] \integral_{1}^{2}{x^{8} u^{2} du}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter. Was mache ich mit dem [mm] x^{8}? [/mm] Kann ich das irgendwie durch u ausdrücken?
Bin dankbar für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bratwurst,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Aus $u \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] ergibt sich $x \ = \ [mm] e^u$ [/mm] .
Damit ist numehr folgendes Integral zu lösen: [mm] $\integral{u^2*e^{8u} \ du}$ [/mm] .
Hier kommst Du dann mit zweifacher partieller Integration weiter.
Gruß vom
Roadrunner
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ok, jetzt komme ich wiederum bei der partiellen Integration nicht weiter.
Wenn ich für f' [mm] u^{2} [/mm] nehme und für g [mm] e^{8u}, [/mm] dann komme ich auf
[mm] \bruch{1}{3}u^{5} *e^{8u}- \integral_{}^{}{\bruch{8}{3}u^{4}*e^{8u} du}
[/mm]
Bezieht sich das "zweifach" nun auf das letzte Integral? Wenn ich das nochmal mache, wird es doch eher noch komplizierter, oder?
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Hallo bratwurst!
Mit "zweifach" meinte ich, dass Du die partielle Integration zwei-mal anwenden musst.
Aber ich kann Deine Zwischenergebnisse nicht nachvollziehen.
Wähle hier für das Integral [mm] $\integral{z^2*e^{8z} \ dz}$ [/mm] wie folgt:
$u \ = \ [mm] z^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 2*z$
$v' \ = \ [mm] e^{8*z}$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*e^{8*z}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Stimmt, da hab ich nen Fehler gmacht. Also nochmal:
[mm] \integral_{}^{}{u(x)v'(x) du}= z^{2} *\bruch{1}{8}e^{8z}- \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}ze^{8z} dx}.
[/mm]
Soweit richtig? Und wie geht's jetzt weiter?
Ich hab das mit der Integration wie man sieht noch nicht so ganz drauf
mfg
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Hallo bratwurst!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und für das hintere Integral [mm] $\integral_{}^{}{\bruch{1}{4}*z*e^{8z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\integral_{}^{}{z*e^{8z} \ dz}$ [/mm] wendest Du das nochmals an:
$u \ = \ z$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 1$
$v' \ = \ [mm] e^{8*z}$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*e^{8*z}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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danke, jetzt wirds klarer 
Dann hätte ich bis jetzt
[mm] \bruch{1}{8}z^{2}e^{8z}-\bruch{1}{8}ze^{8z}-\bruch{1}{16z}e^{8z}.
[/mm]
Jetzt noch resubstituieren und als Integrationsgrenzen log(1) und log(2) nehmen, richtig ?
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Hallo bratwurst!
Da muss aber doch noch was schief gelaufen sein. Hast Du auch den Faktor [mm] $-\bruch{1}{4}$ [/mm] vor dem 2. Integral berücksichtigt.
Wenn D zunächst resubstituierst, musst Du auch die ursprünglichen Grenzen einsetzen. Oder ohne Resubstitution die Werte [mm] $\ln(1) [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $\ln(2)$ [/mm] .
Stammfunktion zur Kontrolle:
[mm] $\integral{z^2*e^{8z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] e^{8z}*\left(\bruch{z^2}{8}-\bruch{z}{32}+\bruch{1}{256}\right) [/mm] + C$
Gruß vom
Roadrunner
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