Subtraktion von Sin mit Phase < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mo 04.01.2016 | | Autor: | Jacknsly |
Hallo,
ich stehe gerade vor einem mathematischen Problem und zwar geht es um Folgendes:
Ich würde gerne ein Sinus gleicher Amplitude und Frequenz von einem anderen subtrahieren. Die Funktionen unterscheiden sich lediglich durch eine (kleine) Phasenverschiebung:
sin( f ) - sin( f + Phi) = x* sin (f + Phi_unbekannt)
Heraus kommt wieder eine Schwingung. Von dieser würde ich gerne die Amplitude 'x' in Abhängigkeit vom Phasenwinkel 'Phi' bestimmen.
Durch ausprobieren konnte ich zum einen für kleine Phasenverschiebungen (>30° = ca 0.5rad) sehen, dass eine Amplitude entsprechend der Phasenverschiebung in Rad heraus kam.
Soll heißen: Phi = 0... 0.5 -> x = 0... 0.5
Allerdings wird die Abweichung bei steigendem Winkel zur Amplitude immer größer.
Ich würde nun gerne die Amplitude in Abhängigkeit vom Winkel mathematisch darstellen, allerdings komme ich da nicht wirklich weiter.
Mein Ansatz bestand darin, über die Taylor-Reihen die Funktionen zu subtrahieren (Die Taylorreihe habe ich nach dem 2. Glied abgebrochen).
Dann wollte ich durch Ableitung der Differenz die Extremstellen und deren Höhe bestimmen, aber irgendwie kommt da bei mir nur Murx heraus.
Hat jemand vielleicht einen anderen Vorschlag, wie ich an diese Aufgabe herangehen könnte?
Mit freundlichen Grüßen
jacknsly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mo 04.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
ueber Taylor haette ich es (zumindest fuer kleine Phasenwinkel) auch gemacht.
Stell doch 'mal deine Rechnungen rein :)
Gruss,
Chris
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Hallo!
Ich finde Taylor nicht sonderlich geeignet.
Die erste Funktion hat die TE [mm] \sum_ia_i*(\alpha-\varphi_1)^i [/mm] , die zweite [mm] \sum_ib_i*(\alpha-\varphi_2)^i. [/mm] Dann subtrahierst du die, und versuchst was darin zu finden. Das kann schwierig sein.
Ich würde es anders machen:
Zeichne in ein Koordinatensystem einen Kreis um den Ursprung, sowie zwei Halbgraden vom Ursprung unter den Winkeln $f_$ und [mm] f+\varphi. [/mm] Die Schnittpunkte mit dem Kreis liegen dann bei [mm] \vektor{R\sin f \\ R \cos f} [/mm] und [mm] \vektor{R\sin (f+\varphi) \\ R \cos (f+\varphi}). [/mm] Die Verbindungslinie ist [mm] \vektor{R\sin (f+\varphi) \\ R \cos (f+\varphi)}-\vektor{R\sin f \\ R \cos f}=\vektor{R\sin (f+\varphi)-R\sin f \\ ...} [/mm] Du erkennst die Parallele zu der Aufgabe? Jedenfalls, die Länge der Verbindungslinie ist die neue Amplitude und lässt sich recht einfach ausrechnen. Auch die Phase ist recht einfach zu bestimmen, wenn man f=0 wählt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 04.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Zum Ansatz mit der Taylorreihe teile ich die Meinung von Event_horizion. Anstelle der Zeichnung nehme ich ein Additionstheorem.
Mit [mm] $\sin(\alpha) [/mm] - [mm] \sin(\beta) [/mm] = [mm] 2\cos\left(\br{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\br{\alpha-\beta}{2}\right)$
[/mm]
[mm] $\sin( [/mm] f ) - [mm] \sin( [/mm] f + [mm] \phi) =2\cos\left(f+\br{\phi}{2}\right)\sin\left(\br{-\phi}{2}\right)$
[/mm]
Also ist dein $x = [mm] 2\sin\left(\br{\phi}{2}\right)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Sa 30.01.2016 | | Autor: | Jacknsly |
Hallo!
Entschuldigt bitte, dass ich erst jetzt reagiere - mein Januar war recht vollgestopft.
Vielen Dank für eure Antworten! Gerade die Zeichnung im Koordinatensystem hat mir sehr gut veranschaulicht, wie der Hase läuft. :)
Die Taylor-Reihe ist wirklich sehr schnell explodiert und ich habe dort nichts anständiges herauslesen können.
Meine Zeichnung im Koordinatensystem habe ich nun allerdings nur bei einer Frequenz von 0Hz gemacht, da ich mir nicht vorstellen kann, wie ich eine Frequenz beim Drehzeiger eintragen kann. Aber diese spielt ja ohnehin keine Rolle, wenn die Frequenzen identisch sind, wenn ich das richtig verstehe.
Vielen Dank und beste Grüße
jacknsly
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