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Substitutionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Di 27.05.2008
Autor: Owen

Aufgabe
Berechne folgende Integrale durch geeignete Substitution:
[mm] 1.\integral_{}^{}{\bruch{e^{x}+1}{e^{x}-1} dx} [/mm]
[mm] 2.\integral_{}^{}{x*\wurzel{1-x^{2}}dx} [/mm]

Hallo,
ich komme hierbei nicht weiter. Habe bei 1. folgendermaßen substituiert:
[mm] z=e^{x}+1 [/mm]
x=ln(z-1)
[mm] \bruch{dx}{dz}=\bruch{1}{z-1} [/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{z-1}dz [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z}{e^{ln(z-1)}-1}*\bruch{dz}{z-1}} [/mm]
An der Form merke ich, dass es nichts bringt hier weiterzurechnen.

Bei 2. bin ich mir auch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.

        
Bezug
Substitutionsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Mi 28.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Eugen,

> Berechne folgende Integrale durch geeignete Substitution:
>  [mm]1.\integral_{}^{}{\bruch{e^{x}+1}{e^{x}-1} dx}[/mm]
>  
> [mm]2.\integral_{}^{}{x*\wurzel{1-x^{2}}dx}[/mm]
>  Hallo,
>  ich komme hierbei nicht weiter. Habe bei 1. folgendermaßen
> substituiert:
>  [mm]z=e^{x}+1[/mm]
>  x=ln(z-1)
>  [mm]\bruch{dx}{dz}=\bruch{1}{z-1}[/mm]
>  [mm]dx=\bruch{1}{z-1}dz[/mm]
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{z}{e^{ln(z-1)}-1}*\bruch{dz}{z-1}}[/mm]
>  An der Form merke ich, dass es nichts bringt hier
> weiterzurechnen.
>  
> Bei 2. bin ich mir auch nicht sicher, wie ich vorgehen
> soll.


Bei dem ersten Integral forme zunächst mit dem Standardtrick um:

[mm] $\frac{e^x+1}{e^x-1}=\frac{e^x\red{-1+1}+1}{e^x-1}=1+\frac{2}{e^x-1}$ [/mm]

Dann kannst du dein Integral [mm] $\int{\frac{e^x+1}{e^x-1} \ dx}$ [/mm] schreiben als [mm] $\int{1 \ dx}+2\cdot{}\int{\frac{1}{e^x-1} \ dx}$ [/mm]

Nun substituiere [mm] $u:=e^x$ [/mm] ...

Dann ist [mm] $\frac{du}{dx}=e^x\Rightarrow dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u}$ [/mm]

Den Rest du ...


Beim zweiten Integral substituiere direkt [mm] $u:=1-x^2$ [/mm]


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Substitutionsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:36 Mi 28.05.2008
Autor: Owen

Aufgabe
s.oben

Hallo, danke erstmal.
Bei der 1. bin ich nun so vorgegangen:
[mm] \integral_{}^{}{1 dx}+\integral_{}^{}{\bruch{2}{e^{x}-1} dx} [/mm]
[mm] u:=e^{x} [/mm]
x=ln(u)
[mm] \bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u} [/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{u} [/mm]

[mm] x+2*\integral_{}^{}{\bruch{du}{(u-1)*u}}=x+2*ln|\bruch{u-1}{u}| [/mm]
[mm] =x+2*ln|1-\bruch{1}{u}|=x+2*ln|1-\bruch{1}{e^{x}}| [/mm]

Ist das soweit korrekt?


Bezug
                        
Bezug
Substitutionsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:50 Mi 28.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Eugen,

> s.oben
>  Hallo, danke erstmal.
>  Bei der 1. bin ich nun so vorgegangen:
>  [mm]\integral_{}^{}{1 dx}+\integral_{}^{}{\bruch{2}{e^{x}-1} dx}[/mm]
>  
> [mm]u:=e^{x}[/mm]
>  x=ln(u)
>  [mm]\bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u}[/mm]
>  [mm]dx=\bruch{du}{u}[/mm]
>  
> [mm]x+2*\integral_{}^{}{\bruch{du}{(u-1)*u}}=x+2*ln|\bruch{u-1}{u}|[/mm]
>  [mm]=x+2*ln|1-\bruch{1}{u}|=x+2*ln|1-\bruch{1}{e^{x}}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[daumenhoch]

>  
> Ist das soweit korrekt?


Ja, sehr schön so! Du kannst es aber noch "nett" zusammenfassen

Es ist ja $1-\frac{1}{e^x}=\frac{e^x-1}{e^x}$, also $2\cdot{}\ln\left(\frac{e^x-1}{e^x\right)=2\cdot{}\left[\ln(e^x-1)-\ln(e^x)\right]=2\ln(e^x-1)-2x$

Also insgesamt....



LG

schachuzipus  


Bezug
                                
Bezug
Substitutionsverfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:58 Mi 28.05.2008
Autor: Owen

Ja, alles klar, vielen Dank.

Bezug
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