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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:00 Fr 26.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimme das Integral:
$$ \int{ \bruch{sin(x)}{\sqrt{cos(x)^3}}} $$ |
Hi,
ich habe eine kleine Frage. Es gibt zu Funktionen in denen der sinus und kosinus vorkommen eine art standardsubstitution:
$$ t = tan(x), x= arctan(x), sin(x)=\bruch{t}{1+t^2}, cos(x)=\bruch{1}{1+t^2}, dx = \bruch{dt}{1+t^2} $$
diese habe ich hier verwendet. Dann komme ich auf:
$$ \int \bruch{\bruch{t}{1+t^2}}{\sqrt{ \bruch{1}{1+t^2}}}dt = \int \bruch{t}{\sqrt{1+t^2}} $$
Dieses Integral sehe ich so, das ist: $ \sqrt{1+t^2} $ also: $ \sqrt{1+tan(x)^2} = \bruch{1}{cos(x)} $ aber die Lösung des Integrals ist (offensichtlich): $$ \bruch{2}{\sqrt{cos(x)} $$
Wo ist der Fehler ? Gilt die Substitution ?
Frohe Weihnachten !
P.S. Gilt eigentlich:
$$ \int \bruch{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 2\sqrt{f(x)} $$ allgemein ?
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> Bestimme das Integral:
> [mm]\int{ \bruch{sin(x)}{\sqrt{cos(x)^3}}} [/mm]
> Hi,
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> ich habe eine kleine Frage. Es gibt zu Funktionen in denen
> der sinus und kosinus vorkommen eine art
> standardsubstitution:
> [mm]t = tan(x), x= arctan(x), sin(x)=\bruch{t}{1+t^2}, cos(x)=\bruch{1}{1+t^2}, dx = \bruch{dt}{1+t^2}[/mm]
Diese Formeln stimmen nur zum Teil. Du hast
wohl die Wurzeln vergessen ! Statt [mm] 1+t^2 [/mm] sollte
es jeweils [mm] \wurzel{1+t^2} [/mm] heissen !
> diese habe ich hier verwendet. Dann komme ich auf:
> [mm]\int \bruch{\bruch{t}{1+t^2}}{\sqrt{ \bruch{1}{1+t^2}}}dt = \int \bruch{t}{\sqrt{1+t^2}}[/mm]
dies ist falsch, weil die Formeln nicht stimmen
> P.S. Gilt eigentlich:
> [mm]\int \bruch{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 2\sqrt{f(x)}[/mm] allgemein ?
Ja, sofern die notwendigen Voraussetzungen erfüllt
sind:
1.) f ist differenzierbar
2.) f(x)>0 für alle [mm] x\in D_f
[/mm]
Ach ja, das obige Integral löst du am besten mit
der Substitution cos(x)=u. Das geht ganz leicht !
Mit glitzernden Schneesternen *** Al
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Fr 26.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
Hallo,
@Al-Chwarizmi: Vielen Dank für die Antwort - ich habe mich anscheinend verguckt.
Mhh.. ich weiß, ich sollte eine neue Diskussion eröffnen. Nur einen kleinen Tipp zu folgendem Integral hätt ich gerne:
$$ [mm] \int{\bruch{dx}{\sqrt{1+x^2}*x}} [/mm] $$ ich sehe hier nicht, was da rauskommen soll. Partielle Integration klappt nicht (wird nicht leichter), substitution sehe ich nicht - was gilt es zu tun ?
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> Hallo,
>
> @Al-Chwarizmi: Vielen Dank für die Antwort - ich habe mich
> anscheinend verguckt.
>
>
> Mhh.. ich weiß, ich sollte eine neue Diskussion eröffnen.
> Nur einen kleinen Tipp zu folgendem Integral hätt ich
> gerne:
>
> [mm]\int{\bruch{dx}{\sqrt{1+x^2}*x}}[/mm] ich sehe hier nicht, was
> da rauskommen soll. Partielle Integration klappt nicht
> (wird nicht leichter), substitution sehe ich nicht - was
> gilt es zu tun ?
Naja, blöder Nenner. Den könntest Du probeweise erst einmal zerlegen:
[mm] \bruch{1}{\sqrt{1+x^2}*x}=\bruch{a}{\sqrt{1+x^2}}+\bruch{b}{x}
[/mm]
Daraus findest Du nichts weiter als [mm] ax+b\sqrt{1+x^2}=1, [/mm] eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen. Jetzt kommt es auf eine geschickte Wahl an, aber glücklicherweise ist sie naheliegend, z.B.:
[mm] b=\sqrt{1+x^2},\ \a{}a=-x
[/mm]
Dann kannst Du Dein Integral so zerlegen:
[mm] \int{\bruch{dx}{\sqrt{1+x^2}*x}}=-\int{\bruch{x}{\sqrt{1+x^2}}dx}+\int{\bruch{\sqrt{1+x^2}}{x}dx}
[/mm]
Nun fällt die Substitution leichter. In beiden Teilintegralen sieht [mm] t=\sqrt{1+x^2} [/mm] doch ganz vielversprechend aus, oder?
Grüße,
reverend
PS: Das ist es in der Realität dann nicht, aber ich denke, Du solltest trotzdem damit weiterkommen.
PPS: Falls Dir eine Kontrolllösung weiterhilft: [mm] \ln{x}-\ln{(1+\sqrt{1+x^2})} [/mm] ist die gesuchte Stammfunktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
Ok, super Idee ! Ich dachte auch an Partialbruchzerlegung, sah aber bei diesem Ausdruck nicht so viel Sinn ....
aber zu dem Integral: Das erste sieht man so.
Das zweite sieht man, zumindest ich, nicht einfach so !
Wenn ich t = $ [mm] \sqrt{x^2+1} [/mm] $ substituiere, erhalte ich aufgrund der inneren Ableitung einen sehr viel komplizierteren Ausdruck.
Wenn es eine logarithmische Lösung gibt, dann muss der ausdruck, auf den ich hinarbeiten muss, ja irgendwie f'(x)/f(x) sein ....
Doofes Integral .. aber mein sportlicher Ehrgeiz erwacht ! Danke erstmal ! Wenn euch was einfällt, schreibt es .
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Hallo James,
> Ok, super Idee ! Ich dachte auch an Partialbruchzerlegung,
> sah aber bei diesem Ausdruck nicht so viel Sinn ....
>
> aber zu dem Integral: Das erste sieht man so.
> Das zweite sieht man, zumindest ich, nicht einfach so !
>
> Wenn ich t = [mm]\sqrt{x^2+1}[/mm] substituiere, erhalte ich
> aufgrund der inneren Ableitung einen sehr viel
> komplizierteren Ausdruck.
Ja, das macht zuerst den Eindruck, aber bedenke, dass mit [mm] $t=\sqrt{1+x^2}$ [/mm] dann [mm] $t^2=1+x^2$ [/mm] ist und [mm] $x^2=t^2-1$
[/mm]
Du kommst mit der Substitution also auf das Integral [mm] $\int{\frac{t^2}{t^2-1} \ dt}=\int{\frac{t^2\red{-1+1}}{t^2-1} \ dt}=\int{\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right) \ dt}=\int{1 \ dt}+\int{\frac{1}{t^2-1} \ dt}$
[/mm]
Für das allerletzte Integral mache eine Partialbruchzerlegung [mm] $\frac{1}{t^2-1}=\frac{1}{(t+1)(t-1)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-1}$
[/mm]
Dann kannst du es als Summe zweier einfacher Integrale schreiben
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> Wenn es eine logarithmische Lösung gibt, dann muss der
> ausdruck, auf den ich hinarbeiten muss, ja irgendwie
> f'(x)/f(x) sein ....
> Doofes Integral .. aber mein sportlicher Ehrgeiz erwacht !
> Danke erstmal ! Wenn euch was einfällt, schreibt es .
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
Hey, das ist genial ! Wieder was nettes gelernt ! - aus irgendeinem grunde habe ich mich hier auch sehr dämlich verrechnet, als ich den Ausdruck mit der substitution aufstellte. Es ist gut, mal wieder "kontrolliert" zu werden....
Vielen Dank euch dreien !
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