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| Aufgabe | 1) Substitutionsregel
a) [mm] \integral_{2}^{3}{(2x-3)^4 dx} [/mm] u=2x-3 |
Hallo,
hier ist meine Substitutionsregel ja:
[mm] \integral_{}^{}{f(g(x))g'(x) dx}=\integral_{}^{}{f(u) du}
[/mm]
(mit u=g(x) und du=g'(x)dx)
So, aber jetzt habe ich ja auch wieder ein bestimmtes Integral; da muss man doch eigentlich die für x einmal die obere Intervallgrenze in die Stammfunktion einsetzen und davon die Stammfunktion abziehen, in die man die untere Intervallgrenze einsetzt, oder?
Und wie kann ich das hier machen? Oder gibt es für bestimmte Integrale eine andere Substitutionsregel?
Viele Grüße,
Anna
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Hallo,
wenn du nach dem Integrieren wieder zurücksubstituierst, also für jedes u wieder 2x-3 einsetzt, so kannst du die Grenzen beibehalten.
Ansonsten musst du die Grenzen auch mit umrechnen! Es gilt für die obere dann: g(3)=3 und für die untere: g(2)=1.
Gruß Patrick
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Hallo,
ok. ich würds wieder ersetzen und kann die Grenzen beibehalten. Aber wie gehe ich bei dieser Substitutionsregel überhaupt vor?
Ich verstehe die gar nicht.
Also, meine Aufgabe war:
[mm] \integral_{2}^{3}{(2x-3)^4 dx}
[/mm]
und u=2x-3
Soll ich jetzt einfach für 2x-3 u einsetzen:
[mm] \integral_{2}^{3}{(u)^4 du}=((1/5)*3^5)-((1/5)*2^5) [/mm] Und jetzt müsste ich irgendwie das u wieder ersetzen, oder? Aber die sind doch schon gar nicht mehr da.. wie soll ich das dann machen? Oder die Grenzen umrechnen, wie es mir schon vorgeschlagen wurde..? aber da habe ich auch nicht so ganz verstanden, wie man auf diese Werte kommt.
Kann mir jemand helfen und sagen, wie das geht? Wäre super!
viele Grüße,
Anna
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Hi Anna,
WIr haben [mm] \integral_{2}^{3}{(2x-3)^{4} \blue{dx}} [/mm] zu berechnen. Dazu verwenden wir die Substitution wie du es auch vorhattest. Wir substituieren [mm] \\u=2x-3 \Rightarrow \bruch{du}{dx}=2 \Rightarrow \blue{dx}=\bruch{du}{2}
[/mm]
Dann folgt für das Integral:
[mm] \integral_{1}^{3}{(u)^{4} \bruch{du}{2}}=\bruch{1}{2}\integral_{1}^{3}{(u)^{4} du}
[/mm]
Die Stammfunktion des Integrals lautet nun [mm] \bruch{1}{2}\cdot\bruch{1}{5}\\u^{5} [/mm] Un nun kannst du deine neuen Grenzen da einsetzen und folgendes berechnen [mm] \bruch{1}{10}\cdot(3)^{5}-\bruch{1}{10}\cdot(1)^{5}=? [/mm] oder du substituierst zurück und erhälst [mm] \bruch{1}{10}(2x-3)^{5} [/mm] als Stammfunktion und setzt deine alten Grenzen ein [mm] \bruch{1}{10}\cdot(2\cdot\\3-3)^{5}-\bruch{1}{10}\cdot(2\cdot\\2-3)^{5}=? [/mm] Bei beiden kommt das selbe heraus 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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