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| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = [mm] \pi [/mm] - x das Integral
[mm] \integral_{0}^{\pi}{x sin(x) / (1 + cos ^2(x)) dx} [/mm] |
Hallo Allerseits,
Obwohl ich schon die eine oder andere Substitution durchgeführt habe, komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich verstehe hierbei nicht, wie die vorgegebene Substitution t = [mm] \pi [/mm] - x weiterhelfen soll. Ich weiß, dass sin(x) = [mm] sin(\pi [/mm] - x) ist, aber was bringt mir das bei dieser Aufgabe?
Wenn ich das substituiere, habe ich doch nur sin(t) statt sin(x).
Brauche dringend einen denkanstoß!
Vielen Dank im voraus an jeden, der versucht, meine Frage zu beantworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Chugsworth |
Vielen dank für die schnelle Antwort!
Das ist ja wirklich interessant. Da frage ich mich, was da beim Aufgabensteller schiefgelaufen ist, denn die Aufgabe steht tatsächlich genau so auf dem Blatt, wie ich sie aufgeschrieben habe.
Also danke nochmal, ich werde die Aufgabe jetzt einfach überspringen, es sei denn, jemandem fällt noch eine Lösung ein (aber du meinst ja, dass es gar keine gibt. woran erkennt man das eigentlich?). Ich finde auch die vorgegebene Substitution höchst seltsam, ich hätte einen anderen Ansatz gewählt, und deine Version der Aufgabe kann ich auch lösen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Sa 12.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = [mm]\pi[/mm] - x das
> Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{x sin(x) / (1 + cos ^2(x)) dx}[/mm]
> Hallo
> Allerseits,
>
> Obwohl ich schon die eine oder andere Substitution
> durchgeführt habe, komme ich bei dieser Aufgabe nicht
> weiter.
Nun, bei dem Beispiel handelt es sich keineswegs um einen Angabefehler und man kommt tatsächlich mit der vorgeschlagenen Substitution zum Ziel.
Substituiere wie angegeben, teile das sich ergebende Integral in eine Summe resp. Differenz von zwei Integralen auf und benütze die Beziehungen [mm] $sin(\pi-t)=sin(t)$, $cos(\pi-t)=-cos(t)$ [/mm] sowie die Tatsache, dass das Vertauschen der Integralgrenzen einen Vorzeichenwechsel bewirkt.
Du kommst auf die Differenz von einem Integral, welches du mit einer weiteren Standardsubstitution lösen kannst, und dem Angabeintegral (diesmal in t, aber das hat ja keinen Einfluss auf das Ergebnis). Du hast also eine Gleichung in dem gesuchten Integral, welche sich leicht lösen lässt.
Das Ergebnis ist übrigens [mm] $\frac{\pi^2}{4}$.
[/mm]
Du wolltest ja nur einen Denkanstoß und so ist das hier auch vorgesehen. Aber wenn's noch wo klemmt, rühr dir einfach nochmal.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 So 13.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo rmix.
Welch eine schöne Lösung, da habe ich nicht weit genug gedacht. Ich hatte die Substituion zwar auch noch gemacht, aber bin dann irgendwo steckengeblieben.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Marius
> Welch eine schöne Lösung, da habe ich nicht weit genug
> gedacht. Ich hatte die Substituion zwar auch noch gemacht,
> aber bin dann irgendwo steckengeblieben.
>
> Marius
Ja, das Beispiel gefällt mir auch recht gut.
Meine erste Spontanreaktion war übrigens auch: "Angabefehler - geht nicht". 
Gruß RMix
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