matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Integralrechnung > Substitution x=sinh(z)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Integralrechnung" - Substitution x=sinh(z)
Substitution x=sinh(z) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm] \integral{\wurzel{1+x^2} dx} [/mm]

Hinweis:

x=sinh(z)

Hallo allerseits!

Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht alaine....[verwirrt]Würde mich sehr über eine Erklärung freuen.  [happy]

x=sinh(z)

Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht z=.....sondern x=......
Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)
Wie leitet man das dann ab?

Bei:

z=arsinh(x)

[mm] z'=\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} [/mm]


[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=...... [/mm]

Wie geht das dann weiter bzw. was bringt diese Substitution überhaupt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruß

Angelika
        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 28.06.2008
Autor: koepper

Hallo,

> [mm]\integral{\wurzel{1+x^2} dx}[/mm]
>  
> Hinweis:
> x=sinh(z)
>  Hallo allerseits!
>  
> Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt
> bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese
> Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht
> alaine....[verwirrt]Würde mich sehr über eine Erklärung
> freuen.  [happy]
>  
> x=sinh(z)
>  
> Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht
> z=.....sondern x=......

damit es dir leichter fällt, einzusetzen.

>  Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)

man könnte.

>  Wie leitet man das dann ab?

Leite besser $x = [mm] \sinh [/mm] z$ ab:

Bedenke, daß [mm] $\sinh [/mm] z = [mm] \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ [/mm] ist.

Das abzuleiten schaffst du sicher.

übrigens:  [mm] $\frac{e^z + e^{-z}}{2} [/mm] = [mm] \cosh [/mm] z$ ;-)

Nur so nebenbei...
Berechne doch bitte mal in Termen der e-Funktion die folgenden beiden Ausdrücke
[mm] $\sinh^2 [/mm] z + 1 = [mm] \ldots$ [/mm]
[mm] $\cosh^2 [/mm] z =  [mm] \ldots$ [/mm]

Gruß
Will
Bezug
                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Will!

Danke für die Hilfe!
Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut ist.  [lichtaufgegangen]

Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:

[mm] x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u) [/mm]

Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] nicht wie sonst   [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] .

Wei sonst dx ja [mm] \bruch{du}{cosh(u)} [/mm]  wäre, was ja nicht zutrifft.

Einsetzen:
[mm] \integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du} [/mm]



Weiter mit patieller Integration:


[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}= [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du} [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u [/mm]


[mm] 2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2} [/mm]

Resubst.

[mm] \integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2} [/mm]

Stimmt das so?

Gruß  :-)

Angelika
Bezug
                        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Sa 28.06.2008
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Hallo Will!
>  
> Danke für die Hilfe!
>  Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut
> ist.  [lichtaufgegangen]
>  
> Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:
>  
> [mm]x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u)[/mm]
>  
> Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] nicht wie sonst   [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] .


Ja.


>  
> Wei sonst dx ja [mm]\bruch{du}{cosh(u)}[/mm]  wäre, was ja nicht
> zutrifft.
>  
> Einsetzen:
>  [mm]\integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du}[/mm]
>  
>
>
> Weiter mit patieller Integration:
>  
>
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}=[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du}[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u[/mm]
>  
>
> [mm]2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2}[/mm]
>  
> Resubst.
>  
> [mm]\integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2}[/mm]
>  
> Stimmt das so?


Stimmt. [ok]


>  
> Gruß  :-)
>  
> Angelika


Gruß
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Mathepower!

Danke für die Korrektur!!

Gruß

Angelika
Bezug
                                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo!

ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration eigentlich bei [mm] \integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}?? [/mm]
Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da [mm] cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}. [/mm]
Aber auch die Subst. von [mm] a^2+x^2=u [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
Was könnte man in so einem Fall substituieren?
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank!

Gruß  :-)

Angelika
Bezug
                                        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 28.06.2008
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Hallo!
>  
> ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration
> eigentlich bei [mm]\integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}??[/mm]
>  Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da
> [mm]cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}.[/mm]
>  Aber auch die Subst.
> von [mm][mm] a^2+x^2=u[/m] [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
>  Was könnte man in so einem Fall substituieren?


Hier kann man [mm]x=a*\sinh\left(u\right)[/mm] substituieren.


>  Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß  :-)
>  
> Angelika


Gruß
MathePower
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]