Substitution oder nicht? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
habe hier eine Aufgabe die mit Substitution gelöst wird.
Habe das ganze jetzt mal mit partieller Integration probiert, der Ausdruck wird am Ende komplizierter, trotzdem würde ich gerne wissen ob das was ich geschrieben habe richtig ist.
[mm] \integral{}{}{\wurzel{3x^2-1}x}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{2}*(3x^2-1)^\bruch{1}{2}*x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{}{}{(3x^2-1)^\bruch{1}{2}*x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{}{}{(3x^2^\bruch{1}{2}-1^\bruch{1}{2})\cdot{}x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{}{}{\underbrace{(3x-1)\cdot{}x}_{partielle Integration}}
[/mm]
f(x) = 3x-1
f'(x) = x
g(x) = [mm] \bruch{x^2}{2}
[/mm]
g'(x) = x
[mm] \integral{}{}{f(x)*g'(x)}dx=(3x-1)\cdot{}\bruch{x^2}{2}-\integral{}{}{x\cdot{}\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
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Hallo studentxyz,
> Hi,
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> habe hier eine Aufgabe die mit Substitution gelöst wird.
> Habe das ganze jetzt mal mit partieller Integration
> probiert, der Ausdruck wird am Ende komplizierter, trotzdem
> würde ich gerne wissen ob das was ich geschrieben habe
> richtig ist.
>
> [mm]\integral{}{}{\wurzel{3x^2-1}x}[/mm]
Hier solltest du erstmal klären, ob da nicht eher [mm] $\int{\sqrt{3x^2-1} \ \red{dx}}$ [/mm] steht?!
Das, was du da stehen hast, ist ziemlich sinnfrei ...
> = [mm]\integral{\bruch{1}{2}*(3x^2-1)^\bruch{1}{2}*x}[/mm]
Woher kommt der Vorfaktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ??
Ich meine, du kannst natürlich [mm] $\sqrt{3x^2-1}$ [/mm] schreiben als [mm] $\left(3x^2-1\right)^{\frac{1}{2}}$, [/mm] aber wie kommt diese [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] vor der Klammer zustande?
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{}{}{(3x^2-1)^\bruch{1}{2}*x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{}{}{(3x^2^\bruch{1}{2}-1^\bruch{1}{2})\cdot{}x}[/mm]
Boah, das ist eine Todsünde!!
[mm] $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ [/mm] !!!!!!!!
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral{}{}{\underbrace{(3x-1)\cdot{}x}_{partielle Integration}}[/mm]
Das ist Unfug ...
>
> f(x) = 3x-1
> f'(x) = x
> g(x) = [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm]
> g'(x) = x
>
> [mm]\integral{}{}{f(x)*g'(x)}dx=(3x-1)\cdot{}\bruch{x^2}{2}-\integral{}{}{x\cdot{}\bruch{x^2}{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Gehen wir nochmal zum vermeintlichen Ausgangsintegral $\int{\sqrt{3x^2-1} \ dx}$ zurück:
Ein Ansatz mit partieller Integration wäre doch, es zu schreiben als
$\int{\sqrt{3x^2-1} \ dx}=\int{\underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{1}_{g'(x)} \ dx}=\underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{x}_{g(x)} \ - \ \int{\underbrace{\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}}_{f'(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{x}_{g(x)} \ dx}$
Wenn es im Ausgangsintegral $\int{\sqrt{3x^2-1}\cdot{}x \ dx}$ heißen sollte (so ließe sich zuminsest der Faktor $\frac{1}{2}$, der da bei dir ins Spiel kommt, erklären), wäre ein möglicher Ansatz über partielle Integration:
$\int{\underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)}\cdot{}\underbrace{x}_{g'(x)} \ = \ \underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2}\red{x^2}}_{g(x)} \ - \ \int{\underbrace{\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}}_{f'(x)}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2}x^2}_{g(x)} \ dx}$
Aber ob das dann einfacher wird als mit Substitution wage ich stark zu bezweifeln!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 So 13.06.2010 | | Autor: | studentxyz |
> Hier solltest du erstmal klären, ob da nicht eher
> [mm]\int{\sqrt{3x^2-1} \ \red{dx}}[/mm] steht?!
Tippfehler, da steht:
[mm] \int{\sqrt{3x^2-1}}x [/mm] dx
>
> > = [mm]\integral{\bruch{1}{2}*(3x^2-1)^\bruch{1}{2}*x}[/mm]
>
> Woher kommt der Vorfaktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] ??
Ja, gute Frage. Der is da falsch.
> [mm]\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}[/mm] !!!!!!!!
Oh weia, Ich hätte die Aufgabe nochmal in Ruhe durschaun sollen.
> Gehen wir nochmal zum vermeintlichen Ausgangsintegral
> [mm]\int{\sqrt{3x^2-1} \ dx}[/mm] zurück:
>
>
> Ein Ansatz mit partieller Integration wäre doch, es zu
> schreiben als
>
> [mm]\int{\sqrt{3x^2-1} \ dx}=\int{\underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{1}_{g'(x)} \ dx}=\underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{x}_{g(x)} \ - \ \int{\underbrace{\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}}_{f'(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{x}_{g(x)} \ dx}[/mm]
>
>
> Wenn es im Ausgangsintegral [mm]\int{\sqrt{3x^2-1}\cdot{}x \ dx}[/mm]
> heißen sollte (so ließe sich zuminsest der Faktor
> [mm]\frac{1}{2}[/mm], der da bei dir ins Spiel kommt, erklären),
> wäre ein möglicher Ansatz über partielle Integration:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] kommt leider nicht daher.
> [mm]\int{\underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)}\cdot{}\underbrace{x}_{g'(x)} \ = \ \underbrace{\sqrt{3x^2-1}}_{f(x)}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2}\red{x^2}}_{g(x)} \ - \ \int{\underbrace{\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}}_{f'(x)}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{2}x^2}_{g(x)} \ dx}[/mm]
>
> Aber ob das dann einfacher wird als mit Substitution wage
> ich stark zu bezweifeln!
Nein, einfacher wurde es damit nicht. Aber jetzt weiss ich wenigstens was alles falsch war, danke.
Julius
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> Gruß
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> schachuzipus
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