Substitution f. PartBruchZerle < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die Stammfunktion $F(x)$ unter Verwendung der Substitution [mm] $t=e^x$ [/mm] und anschließender Partialbruchzerlegung
[mm] $F(x)=\int \frac{50\cdot cosh(x)}{e^{2x}-2e^x+5} [/mm] dx$ |
Ich bekomme die Substitution nicht hin und damit steht und fällt ja die Aufgabe.
Mein Ansatz ist:
substitution: [mm] $t=e^x$
[/mm]
[mm] $\frac{dt}{dx}(e^x)=e^x$
[/mm]
[mm] $dx=\frac{dt}{e^x}$
[/mm]
das $dx$ setze ich dann in meine Gleichung ein
[mm] $F(x)=\int \frac{50\cdot cosh(x)}{e^{2x}-2e^x+5}\cdot\frac{1}{e^x} [/mm] dt$
dann die [mm] $e^x$ [/mm] ersetzen
[mm] $F(x)=\int \frac{50\cdot cosh(x)}{t^2-2t+5}\cdot [/mm] t dx$
Mein Problem ist jetzt der hyperbolische cosinus $cosh(x)$ da steckt ja noch ein x drin, aber das kann ich nicht ersetzen denke ich da ich ja nur [mm] $e^x$ [/mm] mit $t$ ersetzen soll.
einen Ansatz den ich dann noch probiert habe war, den $cosh(x)$ zu ersetzen.
dieser lässt sich auch mit Hilfe von $e$ darstellen
dann ist dieser [mm] $cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ [/mm] hier könnte ich auch die $e$ mit t ersetzen das währe dann:
[mm] $F(x)=\int \frac{50\cdot (\frac{t+t^{-1}}{2})}{(t^2-2t+5)\cdot t} [/mm] dx$
am Ende komme ich auf
[mm] $F(x)=\int \frac{25t+25t^{-1}}{t^3-2t^2+5t} [/mm] dx$ ist das jetzt richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Stammfunktion [mm]F(x)[/mm] unter Verwendung der
> Substitution [mm]t=e^x[/mm] und anschließender
> Partialbruchzerlegung
>
> [mm]F(x)=\int \frac{50\cdot cosh(x)}{e^{2x}-2e^x+5} dx[/mm]
> Ich
> bekomme die Substitution nicht hin und damit steht und
> fällt ja die Aufgabe.
>
> Mein Ansatz ist:
>
> substitution: [mm]t=e^x[/mm]
>
> [mm]\frac{dt}{dx}(e^x)=e^x[/mm]
> [mm]dx=\frac{dt}{e^x}[/mm]
> das [mm]dx[/mm] setze ich dann in meine Gleichung ein
> [mm]F(x)=\int \frac{50\cdot cosh(x)}{e^{2x}-2e^x+5}\cdot\frac{1}{e^x} dt[/mm]
>
> dann die [mm]e^x[/mm] ersetzen
> [mm]F(x)=\int \frac{50\cdot cosh(x)}{t^2-2t+5}\cdot t dx[/mm]
> Mein
> Problem ist jetzt der hyperbolische cosinus [mm]cosh(x)[/mm] da
> steckt ja noch ein x drin, aber das kann ich nicht ersetzen
> denke ich da ich ja nur [mm]e^x[/mm] mit [mm]t[/mm] ersetzen soll.
> einen Ansatz den ich dann noch probiert habe war, den
> [mm]cosh(x)[/mm] zu ersetzen.
> dieser lässt sich auch mit Hilfe von [mm]e[/mm] darstellen
> dann ist dieser [mm]cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/mm] hier könnte
> ich auch die [mm]e[/mm] mit t ersetzen das währe dann:
> [mm]F(x)=\int \frac{50\cdot (\frac{t+t^{-1}}{2})}{(t^2-2t+5)\cdot t} dx[/mm]
>
> am Ende komme ich auf
> [mm]F(x)=\int \frac{25t+25t^{-1}}{t^3-2t^2+5t} dx[/mm] ist das
> jetzt richtig so?
Ja
FRED
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ok danke dann hab ich das schon mal richtig.
Ich habe jetzt weiter gerechnet und hänge aber schon wieder fest. und zwar an den Komplexen Nullstellen des Nennerpolynoms [mm] $t^3-2t^2+5t$ [/mm] eine Nullstelle ist [mm] $x_1 [/mm] = 0$ weil man ein $t$ ausklammern kann.
für [mm] $t^2-2t+5$ [/mm] ergibt sich dann [mm] $x_2 [/mm] = 1-2i$ und für [mm] $x_3 [/mm] = 1+2i$
wie stelle ich jetzt den Ansatz richtig auf?
gibt es da ein allgemeines Rezept?
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Hallo georg1982,
> ok danke dann hab ich das schon mal richtig.
>
> Ich habe jetzt weiter gerechnet und hänge aber schon
> wieder fest. und zwar an den Komplexen Nullstellen des
> Nennerpolynoms [mm]t^3-2t^2+5t[/mm] eine Nullstelle ist [mm]x_1 = 0[/mm] weil
> man ein [mm]t[/mm] ausklammern kann.
> für [mm]t^2-2t+5[/mm] ergibt sich dann [mm]x_2 = 1-2i[/mm] und für [mm]x_3 = 1+2i[/mm]
>
> wie stelle ich jetzt den Ansatz richtig auf?
> gibt es da ein allgemeines Rezept?
Zunächst ist doch der Integrand mit [mm]\bruch{t}{t}[/mm] zu erweitern,
damit die ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung angewendet werden kann.
Gruss
MathePower
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Ok das mit dem Integranden habe ich übersehen.
ist [mm] $25t^2+25t$ [/mm] richtig?
meinen ansatz würde ich so machen
[mm] $\frac {25t^2+25t}{t^3-2t^2+5t}=\frac{A}{t}+\frac{(B_it+C_i)}{t^2-2t+5}$
[/mm]
[mm] $25t^2+25t=\frac{A(t^3-2t^2+5t)}{t}+\frac{(B_it+C_i)\cdot t \cdot(t^2-2t+5)}{t^2-2t+5}$
[/mm]
[mm] $25t^2+25t=A(t^2-2t+5)+(B_it^2+C_it)$
[/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] $25t^2+25t=At^2-2At+5A+B_it^2+C_it$
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] $25t^2=At^2+B_it^2$ [/mm] -> [mm] $B_i=25t$ [/mm] das $t$ wird später rücksubstituiert denke ich
$25t=-2At+C_it$ -> [mm] $C_i=25$
[/mm]
$0=5A$ -> $A=0$
anschliesend kann ich die Integrale aufstellen:
mit [mm] $F(x)=\int\frac{25t^2+25t}{t^3-2t^2+5t}=\int\frac{0}{t}+\int\frac{25t+25}{t^2-2t+5}$
[/mm]
[mm] $F(x)=\int\frac{25t^2+25t}{t^3-2t^2+5t}=\frac{25t}{2}ln|t^2-2t+5|+\frac{50-50t}{\sqrt{-8-25}}arctan\frac{2t-2}{\sqrt{-8-25}}$
[/mm]
ich vermute das ich was falsch gemacht habe
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> Ok das mit dem Integranden habe ich übersehen.
> ist [mm]25t^2+25t[/mm] richtig?
Hallo,
bitte schreibe die Gleichungen vollständig auf, damit man alles auf einen Blick sieht.
Nein, es ist falsch.
Du hattest zu berechnen $ [mm] F(x)=\int \frac{25t+25t^{-1}}{t^3-2t^2+5t} [/mm] dt $ .
Um nun den neg. Exponenten im Zähler wegzubekommen, mußt Du mit t erweitern, dh Zähler und Nenner mit t multiplizieren.
Du hast den ersten Summanden des Zählers mit t, den zweiten mit [mm] t^2 [/mm] und den Nenner mit nichts multipliziert.
LG Angela
> meinen ansatz würde ich so machen
> [mm]\frac {25t^2+25t}{t^3-2t^2+5t}=\frac{A}{t}+\frac{(B_it+C_i)}{t^2-2t+5}[/mm]
>
> [mm]25t^2+25t=\frac{A(t^3-2t^2+5t)}{t}+\frac{(B_it+C_i)\cdot t \cdot(t^2-2t+5)}{t^2-2t+5}[/mm]
>
> [mm]25t^2+25t=A(t^2-2t+5)+(B_it^2+C_it)[/mm]
> Ausmultiplizieren:
> [mm]25t^2+25t=At^2-2At+5A+B_it^2+C_it[/mm]
> Koeffizientenvergleich:
> [mm]25t^2=At^2+B_it^2[/mm] -> [mm]B_i=25t[/mm] das [mm]t[/mm] wird später
> rücksubstituiert denke ich
> [mm]25t=-2At+C_it[/mm] -> [mm]C_i=25[/mm]
> [mm]0=5A[/mm] -> [mm]A=0[/mm]
>
> anschliesend kann ich die Integrale aufstellen:
>
> mit
> [mm]F(x)=\int\frac{25t^2+25t}{t^3-2t^2+5t}=\int\frac{0}{t}+\int\frac{25t+25}{t^2-2t+5}[/mm]
>
> [mm]F(x)=\int\frac{25t^2+25t}{t^3-2t^2+5t}=\frac{25t}{2}ln|t^2-2t+5|+\frac{50-50t}{\sqrt{-8-25}}arctan\frac{2t-2}{\sqrt{-8-25}}[/mm]
>
> ich vermute das ich was falsch gemacht habe
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Ich finde die Aufgabe hat es ganz schön in sich für eine Klausuraufgabe.
so habe nochmal nachgerechnet diesmal mit der richtig erweiterten Formel.
Also ich habe meinen Ansatz nun so stehen.
[mm] $F(x)=\frac{25t^2+25}{t^2\cdot(t^2-2t+5)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{Ct+D}{t^2-2t+5}$
[/mm]
den ganzen Ausdruck mit [mm] $t^2\cdot(t^2-2t+5)$ [/mm] Multiplizieren:
[mm] $25t^2+25=At\cdot(t^2-2t+5)+B\cdot(t^2-2t+5)+(Ct+D)\cdot t^2$
[/mm]
aus multiplizieren:
[mm] $25t^2+25=At^3-2At^2+5At [/mm] + [mm] Bt^2-2Bt+5B [/mm] + [mm] Ct^3+Dt^2$
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] $0t^3=At^3+Ct^3$ [/mm] => $0=(A+C)$ ist $C=-2$
[mm] $25t^2=-2At²+Bt^2+Dt^2$ [/mm] => $-4+5+D=25$ ist $D=24$
$0t=5At-2Bt$ => $(5A-10)=0$ ist $A=2$
$25=5B$ => ist $B=5$
Meine Koeffizienten sind $A=2$; $B=5$; $C=-2$; $D=24$
Integral aufstellen:
[mm] $F(x)=\int\frac{25t^2+25}{t^2\cdot(t^2-2t+5)}dt=\int\frac{2}{t}dt+\int\frac{5}{t^2}dt+\int\frac{Ct+D}{t^2-2t+5}dt$
[/mm]
Jetzt noch integrieren:
[mm] $F(x)=2ln|t|-\frac{5}{t}+ln|t^2-2t+5|+\frac{44}{2}\cdot arctan\frac{2t-2}{2}$
[/mm]
rücksubstituieren:
[mm] $F(x)=2ln|e^x|-\frac{5}{e^x}+ln|e^{2x}-2e^x+5|+\frac{44}{2}\cdot arctan\frac{2e^x-2}{2}$
[/mm]
hoffe das ich das jetzt richtig habe
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Hallo georg1982,
> Ich finde die Aufgabe hat es ganz schön in sich für eine
> Klausuraufgabe.
>
> so habe nochmal nachgerechnet diesmal mit der richtig
> erweiterten Formel.
>
> Also ich habe meinen Ansatz nun so stehen.
>
> [mm]F(x)=\frac{25t^2+25}{t^2\cdot(t^2-2t+5)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{Ct+D}{t^2-2t+5}[/mm]
> den ganzen Ausdruck mit [mm]t^2\cdot(t^2-2t+5)[/mm]
> Multiplizieren:
> [mm]25t^2+25=At\cdot(t^2-2t+5)+B\cdot(t^2-2t+5)+(Ct+D)\cdot t^2[/mm]
>
> aus multiplizieren:
> [mm]25t^2+25=At^3-2At^2+5At + Bt^2-2Bt+5B + Ct^3+Dt^2[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
> [mm]0t^3=At^3+Ct^3[/mm] => [mm]0=(A+C)[/mm] ist [mm]C=-2[/mm]
>
> [mm]25t^2=-2At²+Bt^2+Dt^2[/mm] => [mm]-4+5+D=25[/mm] ist [mm]D=24[/mm]
>
> [mm]0t=5At-2Bt[/mm] => [mm](5A-10)=0[/mm] ist [mm]A=2[/mm]
>
> [mm]25=5B[/mm] => ist [mm]B=5[/mm]
>
> Meine Koeffizienten sind [mm]A=2[/mm]; [mm]B=5[/mm]; [mm]C=-2[/mm]; [mm]D=24[/mm]
>
> Integral aufstellen:
>
> [mm]F(x)=\int\frac{25t^2+25}{t^2\cdot(t^2-2t+5)}dt=\int\frac{2}{t}dt+\int\frac{5}{t^2}dt+\int\frac{Ct+D}{t^2-2t+5}dt[/mm]
> Jetzt noch integrieren:
>
> [mm]F(x)=2ln|t|-\frac{5}{t}+ln|t^2-2t+5|+\frac{44}{2}\cdot arctan\frac{2t-2}{2}[/mm]
>
Das Integral
[mm]\int\frac{\left(-2\right)t+24}{t^2-2t+5} \ dt[/mm]
mußt Du nochmal nachrechnen.
> rücksubstituieren:
>
> [mm]F(x)=2ln|e^x|-\frac{5}{e^x}+ln|e^{2x}-2e^x+5|+\frac{44}{2}\cdot arctan\frac{2e^x-2}{2}[/mm]
>
> hoffe das ich das jetzt richtig habe
Gruss
MathePower
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