Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Tilo42 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{sin^2(x)}dx} [/mm] Substitution: z = tanx |
Das Problem wir sind gerade in das Thema eingestiegen.
Mein Ansatz:
z'= [mm] 1/cos^2(x)
[/mm]
dx = [mm] 1/cos^2(x) [/mm] dz
--> [mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{sin^2(x)}dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{tan^2(x)} * 1/cos^2(x)dx}
[/mm]
oder wie? Beim umformen komme ich aber hierbei auf nichts sinnvolles.
|
|
| |
|
Hallo Tilo,
> Bestimmen Sie das Integral mit der angegebenen
> Substitution:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{sin^2(x)}dx}[/mm] Substitution: z = tanx
> Das Problem wir sind gerade in das Thema eingestiegen.
Na, dafür sieht es doch aber schon gut aus. 
> Mein Ansatz:
>
> z'= [mm]1/cos^2(x)[/mm]
> dx = [mm]1/cos^2(x)[/mm] dz
Nein, z' steht doch für [mm] \bruch{dz}{dx}, [/mm] also ist [mm] dx=\cos^2{x}dz
[/mm]
> --> [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{sin^2(x)}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{tan^2(x)} * 1/cos^2(x)dx}[/mm]
>
> oder wie? Beim umformen komme ich aber hierbei auf nichts
> sinnvolles.
Bis hierhin ist das ok. Noch hast Du ja dx nicht ersetzt, so dass der Rechenfehler von oben sich nicht ausgewirkt hat.
Wenn Du nun auf ein Integral dz umstellst (und das ist ja Sinn der Substitution), bekommst Du in der Tat ein sehr einfaches.
Allerdings musst Du bei einem bestimmten Integral darauf achten, dass auch die Integrationsgrenzen mit substituiert werden müssen!
Versuch mal, das Dir jetzt vorliegende Material zusammenzubauen.
Grüße (und ggf. bis später  )
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Tilo42 |
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{tan^2(x)} * cos^2(x)dx}
[/mm]
Aber wie komme ich nun weiter?
|
|
|
| |
|
Hallo Tilo42,
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{tan^2(x)} * cos^2(x)dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt hinten und vorne nicht.
Zum einen musst du auch die Grenzen mitsubstituieren oder komplett ohne Grenzen rechnen und dann am Ende resubstituieren und die alten Grenzen verwenden.
Zum anderen hast du das [mm]dx[/mm] im Ausgangsintegral doch durch [mm]\cos^2(x) \ \red{dz}[/mm] ersetzt!
Es ist mit [mm]\blue{z=\tan(x)}[/mm] und [mm]\red{dx=\cos^2(x) \ dz}[/mm] doch
[mm]\int{\frac{1}{\sin^2(x)} \ \red{dx}} \ = \ \int{\frac{1}{\sin^2(x)} \ \red{ \cos^2(x) \ dz}} \ = \ \int{\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \ dz} \ = \ \int{\frac{1}{\blue{\tan^2(x)}} \ dz} \ = \ \int{\frac{1}{\blue{z^2}} \ dz}[/mm]
Das löse, resubstituieren und setze die alten Grenzen ein ...
>
> Aber wie komme ich nun weiter?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Tilo42 |
ok danke,
die lösung müsste dann -1/z + C sein (das unbestimmte Integral war gesucht)
soweit richtig?
das prinzip ist dann, die ableitung von z in das ausgangsintegral einsetzen und dann geht es nach dz und anschließend es vereinfachen, so dass man den komplizierten audruck durch z ersetzt, womit man dann weiter rechnen kann....(und beim best. integral muss man dazu natürlich auch noch die grenzen ändern^^)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ok danke,
>
> die lösung müsste dann -1/z + C sein (das unbestimmte
> Integral war gesucht)
> soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, soweit richtig.
> das prinzip ist dann, die ableitung von z in das
> ausgangsintegral einsetzen
Nein, wieso die Ableitung? Du hast [mm] z=\cdots [/mm] substituiert und das Integral entsprechend umgeformt. Als Stammfunktion hast Du nun [mm] -\bruch{1}{z}+C [/mm] gefunden, da setzt Du eben z ein, fertig - jedenfalls, soweit es die Stammfunktion betrifft.
> und dann geht es nach dz und
> anschließend es vereinfachen, so dass man den
> komplizierten audruck durch z ersetzt, womit man dann
> weiter rechnen kann....
Da ist kein komplizierter Ausdruck mehr übrig.
> (und beim best. integral muss man
> dazu natürlich auch noch die grenzen ändern^^)
Auch nicht. Nachdem Du resubstituiert hast und die Stammfunktion als Funktion von x gefunden hast (also F(x)), kannst (und musst!) Du wieder die alten Grenzen a und b verwenden.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Tilo42 |
Doch ich glaube ich meine das richtige, bloß habe es nicht ganz richtig ausgedrückt, aber das prinzip habe ich soweit verstanden^^
|
|
|
|
